滑动窗口的最大值问题

Posted 2022-05-31 andywenzhi

给出一个序列，要求找出滑动窗口中的最大值，比如：

# 序列： 2, 6, 1, 5, 3, 9, 7, 4
# 窗口大小： 4

[2,  6,  1,  5], 3,  9,  7,  4    => 6
 2, [6,  1,  5,  3], 9,  7,  4    => 6
 2,  6, [1,  5,  3,  9], 7,  4    => 9
 2,  6,  1, [5,  3,  9,  7], 4    => 9
 2,  6,  1,  5, [3,  9,  7,  4]   => 9

# 期望结果： [6, 6, 9, 9, 9]

并要求算法的时间复杂度为 O(n)。

稍加观察便能发现滑动窗口其实就是一个队列：窗口每滑动一次，相当于出列一个元素，并入列一个元素。因此这个问题实际上也可以看作是要求设计一个 pop(), push(), max() 均为 O(1) 的队列。

pop() 和 push() 做到 O(1) 很简单，max() 就没那么容易了。随着元素的进队，我们可以记录元素之间的大小关系，维护一个最大值记录，但当队首元素弹出时，已有的大小关系就会被破坏——被弹出的元素可能就是最大值，这样就需要重新开始评估新的最大值。但若我们只从队末弹出呢？这样便不会破坏已记录的剩余元素的最大值。这种只在一端进出的数据结构就是栈。只要在进栈的同时维护一个最大值栈，我们就可以轻松得到一个 pop(), push(), max() 均为 O(1) 的栈。比如令 2, 7, 4 依次进栈，并同时维护一个当前时刻的最大值栈 2, 7, 7，弹出一个元素的时候也同时弹出最大值栈中的元素，这样我们就可以在 O(1) 的时间内找到一个栈的 max。

我们知道，使用两个栈可以构造一个队列，即一个栈用于 push，一个栈用于 pop，因此我们可以使用两个 max() 为 O(1) 操作的栈来构造一个 max() 为 O(1) 的队列。

这是因为一个滑动窗口中的元素要么全在一个栈中，此种情况下只需 O(1) 的时间便可得到该滑动窗口的最大值；要么一部分在一个栈中，一部分在另一个栈中，而从两个栈中找到各自的最大值只需要 O(1) 的时间，再比较两个部分各自的最大值，便可以得到该滑动窗口的最大值，因此此种情况下也只需要 O(1) 的操作就可以得到该滑动窗口的最大值。

以序列 2, 6, 1, 5, 3, 9, 7, 4 为例，设其滑动窗口的大小为 4，记用于出列的栈为 stack_out，用于入列的栈为 stack_in。首先得到第一个滑动窗口，即入列 4 个元素：

stack_out:      stack_in:
                 (5, 6)         <- Top
   None          (1, 6)
                 (6, 6)
                 (2, 2)         <- Bottom

使用 (value, max) 表示当前要入栈的元素 value 以及当前的最大值 max。此时只需要读出 stack_in 栈顶元素的最大值即为当前滑动窗口的最大值。

向右滑动一格即表示将 2 出列，将 3 入列：

stack_out:      stack_in:
                                <- Top
  (6, 6)    
  (1, 5)        
  (5, 5)          (3, 3)        <- Bottom

此时便得到了第二个滑动窗口。它的元素被分置在两个栈中：有 3 个元素在 stack_out 中、 1 个元素在 stack_in 中。而我们可以用 O(1) 的时间从 stack_out 中找到 3 个元素这个部分中的最大值，同时用 O(1) 的时间从 stack_in 中找到另一部分的最大值。因此将 stack_out 与 stack_in 栈顶的最大值相比较即可得到第二个滑动窗口的最大值。也就是说当一个滑动窗口的元素被分散在两个栈中时，我们需要 O(1) + O(1) + O(1) = O(1) 的时间找到该滑动窗口的最大值。三个 O(1) 依次为：从 stack_out 找到第一部分最大值的时间、从 stack_in 中找到另一部分最大值的时间、比较两个最大值得到最终的最大值的时间。

依次处理下去，便可得到我们想要的结果。

P.S.
如果在实现上有疑惑，不妨看看下面给出的这种队列类型的 Python 代码。在该代码中，入队操作被命名为 append，而不是 push，其目的是与 Python 标准库中队列的方法名保持一致。

from typing import List
from collections import namedtuple

Node = namedtuple('Node', ['value', 'max'])


class MaxQueue():

    def __init__(self, stack_len: int) -> None:
        self.stack_in = []
        self.stack_out = []
        self.stack_len = stack_len

    def pop(self) -> int:
        if not self.stack_out:
            if not self.stack_in:
                raise IndexError('pop from an empty queue')
            else:
                self._move_in_to_out()
        return self.stack_out.pop().value

    def append(self, value: int) -> None:
        if len(self.stack_in) >= self.stack_len:
            if self.stack_out:
                raise IndexError('the queue is full')
            else:
                self._move_in_to_out()
        self._push_to_stack(self.stack_in, value)

    def max(self) -> int:
        if self.stack_in and self.stack_out:
            return max(self.stack_in[-1].max, self.stack_out[-1].max)
        if self.stack_in:
            return self.stack_in[-1].max
        if self.stack_out:
            return self.stack_out[-1].max

    def _move_in_to_out(self) -> None:
        while self.stack_in:
            self._push_to_stack(self.stack_out,
                                self.stack_in.pop().value)

    def _push_to_stack(self, stack: List[Node], value: int) -> None:
        if stack:
            stack.append(Node(value, max=max(value, stack[-1].max)))
        else:
            stack.append(Node(value, max=value))