树状数组知识点详解

Posted 2022-05-30 fusiwei

树状数组

树状数组是一种数据结构，它的作用就是优化查询和修改的操作。试想，我们假如在做一道题的时候使用裸的一维数组来存储数据，那每次区间修改需要O(1)的时间，但查询却需要O(n)的时间，针对于某些题目，数据量奇大无比，必然会TLE。所以我们使用树状数组来优化这两个操作，使得修改和查询均可以在O(logn)的时间内完成，提升效率。

（这是百度百科上树状数组的图）

可以直观地看出树状数组是个什么模式，是的，这就是一棵树，而这棵树上每个节点存储的数据就是它所有儿子节点的数据和。所以我们就可以在树上做修改和区间查询（节点减节点），来做到树状数组这种优化方式。

树状数组的实现需要三个特别重要的函数，我一般把它们写成fix()（向上修改），getsum()（向下查询），和lowbit()（这个函数是理解树状数组运行过程的关键）。

lowbit()函数

首先从最关键的lowbit函数入手。

它长这个样子：

int lowbit(int x)

    return x+=x&-x;

这里还涉及到了位运算的相关知识，所谓x&-x，是在二进制上的运算操作，它的实现也很简单，把x按位取反，最后同时上移最后的那个1。比如lowbit(34)最终的结果就是36。那么这个lowbit函数是干什么用的呢？

我们可以把它理解成对树状数组的遍历方式。

根据树状数组的示意图可以发现，我们如果想对原数组进行元素修改，会牵连到于之关联的树状数组整个链。所以我们必须层层向上修改，每一层都要修改，才能保证树状数组存储的元素的正确性。

那么这个层层向上（向下），就需要lowbit这个函数，或者是说这个功能，来实现。

fix()函数

void fix(int x)

    for(int i=x;i<=n;i+=i&-i)
        c[i]++;

void fix(int x,int y)//表示在x元素处修改y个单位

    for(int i=x;i<=n;i+=i&i)
        c[i]+=y;

通过刚才学习lowbit函数，我们应该可以理解这个循环的含义。

其实就是层层向上修改树状数组的对应元素。

getsum()函数

int getsum(int x)

    int ret=0;
    for(int i=x;i;i-=i&-i)
        ret+=c[i];
    return ret;

这里注意，查询的时候要从上往下查询，这里默认查询的区间是1-->x，如果不是1到x，需要另外加参数。

树状数组的相关知识就介绍到这里，小伙伴们可以参考我树状数组的博客来进行例题训练。