最小生成树

Posted 2020-11-10 会宁狐狸

 INTRODUCTION

一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。 最小生成树可以用kruskal（克鲁斯卡尔）算法或prim（普里姆）算法求出。

--百度百科

概述

在一给定的无向图G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边（即），而 w(u, v) 代表此边的权重，若存在 T 为 E 的子集（即）且为无循环图，使得

的 w(T) 最小，则此 T 为 G 的最小生成树。

最小生成树其实是最小权重生成树的简称。

--百度百科

最小生成树的性质：

最小生成树性质：设G=(V，E）是一个连通网络，U是顶点集V的一个非空真子集。若(u，v）是G中一条“一个端点在U中（例如：u∈U），另一个端点不在U中的边（例如：v∈V-U），且（u，v）具有最小权值，则一定存在G的一棵最小生成树包括此边（u，v）。--百度百科

通俗来说

对于一个连通图，若已经求出最小生成树A，则若能找出最小生成树B与A不同

则这个图中，至少有两条边边权相等，且两条边在同一个环上，删去这两条边中的任意一条不影响原图的连通性，

且在生成树A，B中等边权的边的数量相等

 推论

 

对于一个连通图，将他制成一颗生成树，使他的最大边最小，则这棵树是该图的最小生成树

不存在比最小生成树中最大边i更小的边j，当j将i替换后原图联通，若替换后仍联通，则j的权值必定比i大

因为在求最小生成树时已经保证最小联通

最小生成树的求法：

1，Kruskal

大致思路在于将每一条边按照边权从小到大排序，之后按这个顺序扫一遍，若这条边的起点和终点尚未联通或间接联通，那加上这条边，把这两个点连起来，那么怎么判断联通呢？自然要靠并查集了

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<vector>
 5 using namespace std;
 6 int f[100086];
 7 struct edge
 8 {
 9     int from;
10     int to;
11     int weight;
12 };
13 int n, m;
14 int tot;
15 long long ans;
16 vector<edge>e;
17 int find(int x)//普通的并查集
18 {
19     if (f[x] == x)
20         return x;
21     else
22         return f[x] = find(f[x]);
23 }
24 void merge(int a, int b)
25 {
26     int x = find(a);
27     int y = find(b);
28     if (f[x] != f[y])
29         f[y] = x;
30 }
31 bool cmp(edge a, edge b)
32 {
33     return a.weight < b.weight;
34 }
35 int main()
36 {
37     cin >> n >> m;
38     for (int i = 1; i <= n; i++)
39         f[i] = i;//并查集初始化
40     for (int i = 1; i <= m; i++)
41     {
42         int x, y, z;
43         cin >> x >> y >> z;
44         edge t;
45         t.from = x;
46         t.to = y;
47         t.weight = z;
48         e.push_back(t);
49         t.from = y;
50         t.to = x;
51         e.push_back(t);
52     }
53     sort(e.begin(), e.end(), cmp);
54     for (int i = 0; i < e.size(); i++)
55     {
56         if (find(e[i].from) != find(e[i].to))
57         {
58             merge(e[i].from, e[i].to);
59             ans += e[i].weight;
60         }
61     }
62     cout << ans << endl;
63     return 0;
64 }

2，Prim