hdu3507,斜率优化dp

Posted 2022-05-29 llcsblog

斜率优化\\(dp\\)入门题。

\\(ProblemLink\\)

先从\\(n^2\\)的\\(dp\\)开始

设\\(S_i=\\sum_i=1^n a_i\\)

\\(f_i\\)为输出前\\(i\\)个的最小代价。

显然有\\(f_i=min(f_j+(S_i-S_j)^2+M)(j<k)\\)

考虑对于点i。j比k\\((j>k)\\)更优当且仅当

\\(f_j+(S_i-S_j)^2<f_k+(S_i-S_k)^2\\)

\\(f_j+S_j^2-2S_iS_j<f_k+S_k^2-2S_iS_k\\)

\\((f_j+S_j^2)-(f_k+S_k^2)<2Si(S_j-S_k)\\)

即\\(\\huge \\frac (f_j+S_j^2)-(f_k+S_k^2)(S_j-S_k)<2Si\\)

不妨设左式为\\(P(j,k)\\)

也就是说

如果\\(P(j,k)<2Si\\)，那么\\(j\\)就比\\(k\\)更优。

我们发现如果把\\(f_i+S_i^2\\)这个东西看做\\(y\\),\\(S_i\\)看做\\(x\\)

式子就变成了这样

\\(\\huge \\fracy_j-y_kx_j-x_k<2Si\\)

于是我们可以把每个决策点想象一个在二维平面直角坐标系上的点(\\(x\\),\\(y\\))。

这有什么用呢？

我们发现，对于\\(i\\)来说,最优的决策就是那个斜率最小的点。

我们就可以维护一个斜率递增的下凸壳，每次加入时更新。

因为这里\\(Si\\)是单调递增的，用单调队列就可以维护了。

否则就在凸壳上二分，找到小于\\(2Si\\)的最近的点。

/*
@Date    : 2019-07-31 08:27:46
@Author  : Adscn ([e-mail])
@Link    : https://www.cnblogs.com/LLCSBlog
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define IL inline
#define RG register
#define gi getint()
#define gc getchar()
#define File(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout)
IL int getint()

    RG int xi=0;
    RG char ch=gc;
    bool f=0;
    while(ch<'0'||ch>'9')ch=='-'?f=1:f,ch=gc;
    while(ch>='0'&&ch<='9')xi=(xi<<1)+(xi<<3)+ch-48,ch=gc;
    return f?-xi:xi;

template<typename T>
IL void pi(T k,char ch=0)

    if(k<0)k=-k,putchar('-');
    if(k>=10)pi(k/10,0);
    putchar(k%10+'0');
    if(ch)putchar(ch);

const int N=5e5+7;
int s[N];
int f[N];
inline int sqr(int i)return i*i;
inline double X(int j,int k)

    return (f[j]+sqr(s[j])-f[k]-sqr(s[k]));

inline double Y(int j,int k)

    return (s[j]-s[k]);

int main(void)

    int n,m;
    while(cin>>n>>m)
    
        s[0]=0;
        for(int i=1;i<=n;++i)s[i]=gi;
        for(int i=1;i<=n;++i)s[i]+=s[i-1];
        int l=1,r=0;
        static int Q[N*2];
        Q[++r]=0;
        for(int i=1;i<=n;++i)
        
            while(l<r&&X(Q[l+1],Q[l])<=2*s[i]*Y(Q[l+1],Q[l]))++l;
            f[i]=f[Q[l]]+sqr(s[i]-s[Q[l]])+m;
            while(l<r&&X(i,Q[r])*Y(Q[r],Q[r-1])<=X(Q[r],Q[r-1])*Y(i,Q[r]))--r;
            Q[++r]=i;
        
        cout<<f[n]<<endl;
    
    return 0;