从存图到最短路算法的图论总结

Posted 2022-05-29 hnfox

INTRODUCTION:

图论算法在计算机科学中扮演着很重要的角色，它提供了对很多问题都有效的一种简单而系统的建模方式。很多问题都可以转化为图论问题，然后用图论的基本算法加以解决。--百度百科

对于OI而言，图是指由若干给定的点及若干条连接两点的线(边)所构成的图形

借助图论知识，我们往往可以将一些复杂的问题转化到基础的图论算法上，进而使用已有算法解决全新问题

那么想如果想要运用图论，首先要从存图开始

前排感谢教我图论的周润喵老师，syc学长，就序老师

可是我还是没学会

一，存图

 

对于一个图而言，它可以根据便是否有反向分成两类：有向图与无向图，

不过二者的存图方式大同小异，以下以有向图为例；

1，邻接矩阵（Adjacency matrix）

邻接矩阵作为一种简洁实用的存图方式，具有简单可靠的优势，一般不太会打错，但是他的空间复杂度高达O(n^2),使得他的使用相当受局限

不过，在数据范围比较小或者想要打暴力部分分的时候，邻接矩阵还是具有相当大的优势的。

（比如说邻接矩阵+Floyd打暴力）

在邻接矩阵中，我们用e[i][j]表示点i到点j的距离（也就是边i->j的边权）

 

 1     const int INF = 9999999999;//设一个较大的数为无穷大
 2     int n, m;//n为点数，m为边数
 3     int e[5005][5005];//貌似开5005*5005就快MLE了...所以要谨慎一点
 4     for (int i = 1; i <= n; i++)
 5         for (int j = 1; j <= n; j++)
 6             if (i == j)
 7                 e[i][j] = 0;//我自己到我自己的距离当然是0
 8             else
 9                 e[i][j] = INF;//一开始还没有边，所以我到其他人的距离先设为无穷大
10     for (int i = 1; i <= m; i++)//读入边
11     
12         int from, to, weight;//从哪来，到哪去，路多长
13         cin >> from >> to >> weight;
14         e[from][to] = weight;//无向图存两遍
15         e[to][from] = weight;//from到to的距离和to到from的距离是相等的
16     

 个人认为邻接矩阵是一种比较可靠的存图方式，在数据较小的时候一般不会出错，

不过在使用时一定要根据题目含义对有向图，无向图或重边，自环，等特殊情况进行判断，以免出错。

2，邻接表（Adjacency table）

观察之前的邻接矩阵，我们可以看出，当存在很多个点（假设有n个），但边的数量（m）却远小于n²时，矩阵中很多的空间都没有用到，存在着极大的空间浪费

这使得邻接矩阵无法应付n>=10000(甚至更大)的情况，然而这种在OI里是很常见的，所以我们就要引入一种OI里最常见（总之我觉得挺常见的）

的存图方式：邻接表

首先，邻接表本质上是一种链表，表中的每一个节点使用指针或模拟指针进行连接（其实是不连着的）

同时，邻接表不同于邻接矩阵，他是以边为单位进行存储的，所以他所占的空间完全由边的数量决定，和点的数量没什么关系，

他无论在空间还是时间上都相当优秀，在OI中一般情况下不会出现连邻接矩阵都存不下的图（至少本蒟蒻没见过）

 

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 struct edge
 4 
 5     int from;
 6     int to;
 7     int next;//模拟指针
 8     int weight;
 9 e[2000080];//看吧，他开很大都不会爆，不过要注意无向图开两倍
10 //毕竟一条无向边其实是当作两条有向边存的
11 int head[50005];//head[i]表示点i所发出的第一条边的数组下标
12 int tot;//边的总数
13 int n, m;
14 void add(int from,int to,int weight)
15 
16     tot++;
17     e[tot].from = from;
18     e[tot].to = to;
19     e[tot].weight = weight;
20     e[tot].next = head[from];
21     head[from] = tot;
22 //加边的模板
23 int main()
24 
25     cin >> n >> m;
26     for (int i = 1; i <= m; i++)
27     
28         int x, y, z;
29         cin >> x >> y >> z;
30         add(x, y, z);
31         add(y, x, z);//依然无向边存两次
32     
33     for (int i = head[1]; i; i = e[i].next)
34         //遍历该点上所有的边，如果没有下一条了（i=0），我就停
35         //如果还有下一条边，我就继续往后遍历（i=e[i].next）
36         cout << e[i].to;
37     //貌似没解释清楚，感性理解一下？
38     return 0;
39 

3，vector存图

利用stl库中提供的动态数组vector存图，时空上的效率都和邻接表差不多（据说开了OI优化会稍微快一点）

注意要开<vector>头文件

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct edge

    int from;
    int to;
    int weight;
;
vector<edge> e[100086];//e[i][j]表示点i的第j条边
//貌似比邻接表稍微简单一点
int n, m;
int main()

    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    
        edge t;//定义一条新的的边出来
        int x, y, z;
        cin >> x >> y >> z;
        t.from = x;
        t.to = y;
        t.weight;
        e[x].push_back(t);//把他塞进去
        t.from = y;
        t.to = x;
        e[y].push_back(t);//改一改，反向塞进去
    
    for (int i = 0; i < e[1].size(); i++)
        //查询很方便
        //不过注意vector是从0开始的
        cout << e[1][i].to;
    return 0;

存图时的坑点：

• 重边：比较一下他和原本的那条边那个权值更小，选更小的存

• 自环：对于一般的题貌似可以直接不管他

• 无向图没开两倍：二话不说直接RE

二，最短路

常见的最短路算法主要有三类：

Floyd，Dijkstra以及Bellman Ford

当然还有他们的优化，以及一些其他的算法，不过貌似那些都有很多限制条件，只能在一些特定情况下只用

1，Floyd

这个算法实在太著名了，因为他的核心代码只有5行....

1     for (int k = 1; k <= n; k++)//枚举中间点
2         for (int i = 1; i <= n; i++)//枚举起点
3             for (int j = 1; j <= n; j++)//枚举终点
4                 e[i][j] = min(e[i][j], e[i][k] + e[k][j]);//替换

大概就是说，从i点到j点是直接走比较近还是从i到k再从k到j这样绕一圈比较近，如果我绕一圈近的话就更新一下路径长度

完整代码

 

 1 #include<iostream>
 2 #include<vector>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 int e[1000][1000];
 6 int main()
 7 
 8     int n, m;
 9     cin >> n >> m;
10     for (int i = 1; i <= n; i++)
11         for (int j = 1; j <= m; j++)
12             if (i == j)
13                 e[i][j] = 0;
14             else
15                 e[i][j] = 9999999;
16     for (int i = 1; i <= m; i++)
17     
18         int x, y, z;
19         cin >> x >> y >> z;
20         e[x][y] = z;
21         e[y][z] = z;
22     
23     for (int k = 1; k <= n; k++)//枚举中间点
24         for (int i = 1; i <= n; i++)//枚举起点
25             for (int j = 1; j <= n; j++)//枚举终点
26                 e[i][j] = min(e[i][j], e[i][k] + e[k][j]);//替换
27     return 0;
28 

算法优点：

• 他求的是多源最短路，也就是说跑完一次Floyd，那么图中任意两个点之间的最短路就都知道了，不像后两种求的是单源最短路

• 好打

算法缺点：

• 太慢了.....时间复杂度O(n³)

2，Dijkstra

 1 #include<iostream>
 2 #include<algorithm>
 3 using namespace std;
 4 const long inf = 20041001;
 5 int n;
 6 int m;
 7 int s;
 8 int tot;
 9 struct edge
10 
11     long weight;
12     int to;
13     int next;
14 e[500005];
15 struct node
16 
17     int head;
18 no[10086];
19 long long dis[10086];
20 bool book[10086];
21 void add(int from, int to, int weight)
22 
23     tot++;
24     e[tot].to = to;
25     e[tot].weight = weight;
26     e[tot].next = no[from].head;
27     no[from].head = tot;
28 
29 int main()
30 
31     cin >> n >> m >> s;
32     book[s] = 1;
33     for (int i = 1; i <= n; i++)
34         dis[i] = inf;
35     dis[s] = 0;
36     for (int i = 1; i <= m; i++)
37     
38         int x, y, w;
39         cin >> x >> y >> w;
40         if (x != y)
41             add(x, y, w);
42     
43     for (int i = no[s].head; i; i = e[i].next)
44     
45         if (e[i].weight < dis[e[i].to])
46             dis[e[i].to] = e[i].weight;
47     
48     for (int i = 1; i < n; i++)
49     
50         int u = 0;
51         int minn = inf;
52         for (int j = 1; j <= n; j++)
53         
54             if (book[j] == 0 && dis[j] < minn)
55             
56                 minn = dis[j];
57                 u = j;
58             
59         
60         book[u] = 1;
61         for (int i = no[u].head; i; i = e[i].next)
62         
63             if (dis[e[i].to] > dis[u] + e[i].weight)
64                 dis[e[i].to] = dis[u] + e[i].weight;
65         
66     
67     for (int i = 1; i <= n; i++)
68         cout << dis[i] << " ";
69     return 0;
70 

算法优点

• 快了不少，好歹达到了O(n²)的复杂度，用堆儿优化之后甚至可以达到O((n+m)logn),算是比较优秀了

算法缺点

• 求的是单源最短路，也就是说我每次求完都只能知道点s到各个点的最短距离，如果我要求每个点的，也就要跑n次，就很慢了

• 关键是他处理不了负权边，尤其是负权回路

3，Bellman Ford

 1 #include<iostream>
 2 #include<string.h>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<vector>
 5 #include<map>
 6 #include<bitset>
 7 #include<set>
 8 #include<string>
 9 #if !defined(_WIN32)
10 #include<bits/stdc++.h>
11 #endif // !defined(_WIN32)
12 #define ll long long
13 #define dd double
14 using namespace std;
15 int t;
16 int n, m, w;
17 int tot;
18 struct edge
19 
20     int from;
21     int to;
22     int weight;
23 e[100086];
24 int dis[5005];
25 void add(int x, int y, int z)
26 
27     tot++;
28     e[tot].from = x;
29     e[tot].to = y;
30     e[tot].weight = z;
31 
32 bool Bellman_Ford()
33 
34     memset(dis, 0x3f3f3f3f, sizeof(dis));
35     dis[1] = 0;
36     for (int i = 1; i < n; i++)
37     
38         for (int j = 1; j <= tot; j++)
39         
40             if (dis[e[j].to] > dis[e[j].from] + e[j].weight)
41                 dis[e[j].to] = dis[e[j].from] + e[j].weight;
42         
43     
44     for (int i = 1; i <= tot; i++)
45         if (dis[e[i].to] > dis[e[i].from] + e[i].weight)
46             return 0;
47     return 1;
48 
49 int main()
50 
51     cin >> t;
52     while (t--)
53     
54         tot = 0;
55         memset(e, 0, sizeof(e));
56         memset(dis, 0, sizeof(dis));
57         n = 0, m = 0, w = 0;
58         cin >> n >> m >> w;
59         for (int i = 1; i <= m; i++)
60         
61             int x, y, z;
62             cin >> x >> y >> z;
63             add(x, y, z);
64             add(y, x, z);
65         
66         for (int i = 1; i <= w; i++)
67         
68             int x, y, z;
69             cin >> x >> y >> z;
70             add(x, y, 0 - z);
71         
72         if (Bellman_Ford())
73             cout << "NO" << endl;
74         else
75             cout << "YES" << endl;
76     
77     return 0;
78 

算法优点

• 可以处理负权，如果有负权回路，则可以把他判断出来

算法缺点

• 很慢，时间复杂度O(nm),而且求的是单元最短路，一般只用来判断是否有负权回路，而且实际使用时往往要使用他的队列优化，也就是SPFA

（今天刚注册的博客，立刻就像写一篇博客试试，然而实际写起来才觉得没那么简单，写完后返回来以看就发现了很多缺陷，而且也不太清楚从何改起.......不过我相信写博客同样也是熟能生巧的，只要一直写下去，想必将来也能写出优秀的博客）