划分土地（how many pieces of land）

Posted 2022-05-27 zhanhonhao

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了划分土地（how many pieces of land）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

题目描述：

给一个椭圆，上面有n个点，两两连接这n个点，得到的线段能把椭圆分为几个区域？

思路：

首先想想，n个点在椭圆边缘，每两个点两两连接有$C^2_n$条线段，这些线段交于很多点，求这些线段最多把椭圆分成几个部分。

考虑到欧拉公式：在平面图中$V-E+F=2$，$V$为顶点数，$E$是边数，$F$是面数。我们要求的是$F$，只要求$E$与$V$就行了。那么怎么求$V$呢？

考虑每一个顶点，以这个顶点为基础，不断向其他点发出对角线，在对角线左边的点是$i$，右边的便是$n-2-i$个点，将左边的点与右边的点相互连接，便会与这条对角线相交，交点有$i(n-2-i)$个，但是由于对每个点都枚举，这样会重复计算。重复计算了几次呢？我们知道，要产生一个交点需要两条线段，也就需要四个顶点，也就是说，遍历所有顶点后，对这一个交点事实上我们重复了四次，因为有四个顶点贡献了它。同理，边重复计算了两次。因此：$V=n+\fracn4\sum_i=0^n-2i(n-2-i)$，$E=n+\fracn2\sum_i=0^n-2(i(n-2-i)+1)$。

所以椭圆内的面有$F=E-V+2-1=\fracn4\sum_i=0^n-2i(n-2-i)+\fracn(n-1)2+1=\fracn(n-3)(n-2)(n-1)24+\fracn(n-1)2+1 $。

由于$\sum_i=1^n i(n+1-i)=\fracn(n+1)(n+2)6$

证明：

$n=1$时公式成立，假设n=k时也成立

$a_k=1*k+2*(k-1)+...+k*1$

$n=k+1$时，

$a_k+1=1*(k+1)+2*k+...+(k+1)*1$

$a_k+1-ak=1+2+...+k+1=\frac(k+2)(k+1)2$，$a_k+1=a_k+\frac(k+2)(k+1)2=\fracn(n+1)(n+2)6+\frac(k+2)(k+1)2=\frac(k+1)(k+2)(k+3)6$.

证毕

注意如果找规律，1,2,4,8,16当n等于6时为31就不对了。