2019 Multi-University Training Contest 3 - 1006 - Fansblog - 打表 - 暴力

Posted 2022-05-27 yinku

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6608

题意：给一个比较大的质数P（1e14以内），求比它小的最大的质数Q（貌似保证存在的样子，反正我没判不存在），求Q!modP的值。

一开始觉得是个什么神仙题，但是怎么全场都绿了一片，瞬时感觉智商受到了侮辱。想了很多什么奇奇怪怪的性质，都不太清楚，然后队友卡1007的时候我打了个对P找ans的表看了一下。发现当P-Q=2的时候就是ans=1？？？

然后打个(P-2)!%P的表，发现小数据都这样过，估计也是真的这样子。

那么考虑怎么找这个Q，首先肯定特判掉P=3，然后Q必然是奇数。

考虑暴力找Q的复杂度：首先根据质数定理（或者直接打1e7表出来知道）得到质数的数量大概6e5这样子，验证Q是质数一圈暴力。

假如Q不是质数，极端情况，是两个不同质数的积，那么这样的数的分布应该是很大的。

根据下面的代码可以打出这样的极端合数：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int MAXN = 1e7;

int pri[MAXN + 5], pritop;
bool notpri[MAXN + 5];
//pritop从1开始计数

void sieve(int n) 
    notpri[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++) 
        if(!notpri[i])
            pri[++pritop] = i;
        for(int j = 1; j <= pritop && i * pri[j] <= n; j++) 
            notpri[i * pri[j]] = 1;
            if(i % pri[j] == 0)
                break;
        
    
    printf("ptop=%d\n", pritop);


vector<ll> H;

int main() 
#ifdef Yinku
    freopen("Yinku.in", "r", stdin);
#endif // Yinku
    sieve(MAXN);
    for(int i = pritop; i >= pritop - 100; --i) 
        for(int j = i - 1; j >= i - 1 - 100; --j) 
            H.push_back(1ll*pri[i]*pri[j]);
        
    
    sort(H.begin(),H.end(),greater<ll>());
    for(int i=0;i<100;++i)
        printf("i=%d num=%lld\n",i+1,H[i]);
    
    return 0;

可以看到这样的极端合数之间的间隔非常大！两个之间差了1e6以上！

ptop=664579
i=1 num=99999640000243
i=2 num=99999620000261
i=3 num=99999440000783
i=4 num=99999340000513
i=5 num=99999280000567
i=6 num=99999220000621
i=7 num=99999200000639
i=8 num=99999160001539
i=9 num=99999140001653
i=10 num=99999100001701
i=11 num=99999080001827
i=12 num=99999040001863
i=13 num=99999020002001
i=14 num=99999020001917
i=15 num=99999000002059
i=16 num=99998980000837
i=17 num=99998920000891
i=18 num=99998800003591
i=19 num=99998800002511
i=20 num=99998800000999

假如把三个不同质数的乘积也放上来，基本也是没有缩小到哪里。

所以可以猜测，在一次暴力验证的过程中，在找到Q之前，遇到的极端合数的数量估计不会超过10个，甚至不会超过5个。其他的合数的素因子很容易被判断掉了，几乎只是暴力判Q的零头，忽略不计。

质数之间的间隔的话，根据质数的总数量，平均是32个出现一个，当然在比较大的时候间隔较远，但是我猜测不会超过1000，连续1000个数都没有质数的，希望大佬给出一个估计？

那么大概暴力判一次Q，最差情况在6e6左右，考虑T比较小（后面题面改来改去差评），直接暴力。

根据猜测的结果（威尔逊定理）：(P-2)! = 1 mod P ，每次两边乘两个个逆元也可以转移到下一个数，至多转移1000次，1000log1e14也是零头，忽略不计。

最后要小心溢出，改了很多地方，乘逆元的地方都改了__int128但是快速幂里面没改，导致溢出WA1，太坑了。

其实只是使用乘法取模，可以用快速乘的。