树的直径

Posted 2020-11-10 神之右大臣

树的直径
给定一棵树，树中每条边都有一个权值，树中两点之间的距离定义为连接两点的路径边权之和。树中最远的两个节点之间的距离被称

为树的直径，连接这两点的路径被称为树的最长链。后者通常也可称为直径。

 

树形DP求树的直径(时间复杂度:O(n))
设1号节点为根,"N个点N-1条边的无向图"就可以看做“有根树”
设d[x]表示从节点x出发走向以x为根的子树，能够到达的最远节点的距离。设x的子节点为y1,y2, y3, ..., yt，edge(x, y)表示边权，显然有"
d[x] = max{d[yi] + edge(x, yi)}(1 <= i <= t)
接下来，我们可以考虑对每个节点x求出"经过节点x的最长链的长度"f[x]，整棵树的直径就是max{f[x]}(1 <= x <= n)
对于x的任意两个节点yi和yj，"经过节点x的最长链长度"可以通过四个部分构成：从yi到yi子树中的最远距离，边(x, yi)，边(x, yj)，从yj到yj子树中的最远距离。设j < i，因此：
f[x] = max{d[yi] + d[yj] + edge(x, yi) + edge(x, yj)}(1 <= j < i <= t)
但是我们没有必要使用两层循环来枚举i, j。在计算d[x]的霍城，子节点的循环将要枚举到i时d[x]恰好就保存了从节点x出发走向“以yj(j < i)为根的子树”，能够到达的最远节点的距离，这个距离就是max{d[yi] +edge(x, yi)}(1
<= j < i)。所以我们先用d[x] + d[yi] + edge(x, yi)更新f[x]，再用d[yi] + edge(x, yi)更新d[x]即可

 

 

void dp(int x) {
    v[x] = 1;
    for(int i = head[x]; i; i = net[i]) {
        int y = ver[i];
        if(v[y]) continue;
        dp(y);
        ans = max(ans, d[x] + d[y] + edge[i]);
        d[x] = max(d[x], d[y] + edge[i]);
    }
}