SP5971 LCMSUM 数论

Posted 2022-05-24 lishuyu2003

题面

题目要我们求这个：

\[\sum_i=1^n lcm(i,n)\]

开始化式子：

\[\sum_i=1^n \fraci*ngcd(i,n)\]

\[\sum_d|n \sum_i=1^\fracnd i*n[gcd(i,\fracnd)=1]\]

\[n*\sum_d|n\sum_i=1^di[gcd(i,d)=1]\]

注意那个\(\sum_i=1^di[gcd(i,d)=1]\)是求\([1,d]\)中所有与\(d\)互质的数的和，可以证明当\(d>1\)时，它等于\(\fracd*\phi(d)2\)，证明如下：

对于每个\(i\)，若它与\(d\)互质，则\(d-i\)也与\(d\)互质，每一对\(i\)与\(d-i\)的和为\(d\)，所以平均每个与\(d\)互质的数的值为\(\fracd2\)，一共有\(\phi(d)\)个与\(d\)互质的数，所以他们的和为\(\fracd*\phi(d)2\)

而与\(1\)互质的数的和显然为\(1\)

所以上式可化为

\[n*\big((\sum_d|n,d>1\fracd*\phi(d)2)+1\big)\]

\[ \big( \fracn2*\sum_d|n,d>1d*\phi(d)\big)+n\]

设\(g(n)=\sum_d|nd*\phi(d)\)，上式化为：

\[\fracn2*(g(n)-1)+n\]

其中\(g(n)\)是一个积性函数，可以\(O(n)\)筛出

每次询问是\(O(1)\)的

总时间复杂度为\(O(n+T)\)

关于如何线筛出\(g(n)\)：

\(n\)为质数：\(g(n)=1+n*\phi(n)=1+n*(n-1)\)

\(n=p^k\)：

\[g(n)=1+\sum_i=1^kp^i*\phi(p^i)\]

\[=1+\sum_i=1^kp^i*p^i-1*(p-1)\]

\[=1+(p-1)\sum_i=1^kp^2i-1\]

\[=1+(p-1)\fracp^2k+1-pp^2-1\]

\[ =1+\fracp^2k+1-pp+1\]

\(n\)的最小质因子为\(p\)：\(g(n)=g(n'*p^k)=g(n')*g(p^k)\)

然后就可以线性筛了

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1000007
#define ll long long
const int lim=1e6;
int pr[N],cnt,pk[N];
bool zhi[N];
ll f[N];
void Init()

    int i,j;
    f[1]=1;
    for(i=2;i<=lim;i++)
    
        if(!zhi[i])
        
            pr[++cnt]=i,f[i]=1+1ll*i*(i-1);
            pk[i]=i;
        
        for(j=1;j<=cnt&&i*pr[j]<=lim;j++)
        
            int p=pr[j],x=i*p;
            zhi[x]=true;
            if(i%p==0)
            
                pk[x]=pk[i]*p;
                f[x]=f[x/pk[x]]*(1+(1ll*pk[x]*pk[x]*p-p)/(p+1));
                break;
            
            pk[x]=p;
            f[x]=f[i]*f[p];
        
    
    for(i=1;i<=lim;i++)
        f[i]=1ll*(f[i]-1)*i/2+i;

int main()

    int t,n;
    Init();
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    
        scanf("%d",&n);
        printf("%lld\n",f[n]);
    
    return 0;

我原本的做法是用\(\mu\)暴力拆\([gcd(i,d)=1]\)，但是那样做的复杂度是\(O(n\log n)\)的，也没有这个做法巧妙，这里就不讲了。