简要复习线段树

Posted 2022-05-23 starontheway

线段树(Segment Tree)的组成

主要针对题目

以下出现的k为线段树内代表区间的点的编号

---

数据

• 点的个数 n
  
• 该点代表的区间各数之和 sum[4*maxn]
• 该点代表的区间上改变的量 add[4*maxn]

sum[k] 和 add[k] 的 区分

比如说 ， k代表的区间上每个数都加上num,
则变化后的sum[k] = sum[k] + (区间长度) * num
且变化后的add[k] = add[k] + num

函数

---

建树

• 目标：得到所有区间的sum[k]

• 过程：分治递归区间。

  递归终止：区间内只含有一个数，即 l == r 时 ，sum[k] = res[l] 或 res[r]

  子区间递归结束后，

  递归过程 sum[k] = sum[k << 1] + sum[k << 1 | 1]

• 注意

  递归子区间时，两个子区间的k应分别 << 1 或 << 1 | 1(即 << 1后 + 1),

  以保证对于每个区间,编号k是唯一的，且可从比它们更大的区间到达

---

更新区间点值

• 目标：更新涉及到的区间的sum[k] ， 并更新目标区间的add[k]

• 过程：分治递归区间。

  递归终止：当前区间等价于目标区间时 ， 更新其add[k]（即 add[k] = add[k] + 要加到目标区间的值）

  递归过程：

  1. 当前区间的sum[k]都必须更新(即sum[k] = sum[k] + 目标值 * 目标区间长度)

  2. 目标区间必须为当前区间的子集，

     如果递归到下一层时 当前区间中点在目标区间内 而 当前区间的两端在目标区间外 ， 则应将目标区间与当前区间同时分治 ；

     如果递归到下一层时 当前区间中点在目标区间外 ，

     若目标区间完全为 当前区间左端点 到 当前区间中点 之间区间 的子集 ， 则只在这个新区间更新 ；

     若目标区间完全为 当前区间中点 到 当前区间右端点 之间区间 的子集 ， 则只在这个新区间更新 。

---

查询区间和

• 目标 ：获得目标区间的sum[k]和 包含目标区间的父区间的add[k] 与 目标区间长度 的 乘积 的 加和

• 过程：依旧是分治递归区间。

  递归终止：当前区间等价于目标区间时 ，返回其sum[k] 及 一路下来父区间的add[k‘]之和 与 目标区间长度 的 乘积 的 加和

  递归过程 ：

1. 将当前区间的add[k]加入下一层查询的参数中

2. 与 “更新区间点值 -> 过程 -> 递归过程 2.” 大同小异

---

其他

• 快读快写之类的常数优化不再赘述

线段树(Segment Tree)的代码

---

C++98/03

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
typedef long long ll;
ll read();
const ll MAXN = ll(4e6) + 40;
ll n,m,sum[MAXN],add[MAXN],res[MAXN / 4];
void build(ll,ll,ll);//建树
void update(ll,ll,ll,ll,ll,ll);//更新区间点值
ll   query_sum(ll,ll,ll,ll,ll,ll);//查询区间和
int main()

    n = read(); m = read();
    for(ll t = 1 ; t <= n ; ++t )
        res[t] = read();
    
    build(1,1,n);
    for(ll t = 1 ; t <= m ; ++t )
        ll opCode,x,y,k;
        opCode = read();
        x = read(); y = read();
        if(opCode == 1)
            k = read();
            update(1,1,n,x,y,k);
        else if (opCode == 2)
            printf("%lld\n",query_sum(1,1,n,x,y,0));
        
    
    return 0;

ll query_sum(ll k , ll l , ll r , ll x , ll y , ll v )
    if(x == l && y == r)
        return sum[k] + (r - l + 1) * v;
    
    ll mid = ( l + r ) >> 1 ;
    if(y <= mid)
        return query_sum(k << 1 , l , mid , x , y , v + add[k] );
    else if(x >= mid + 1 )
        return query_sum(k << 1 | 1 , mid + 1 , r , x , y ,v + add[k]);
    return 
        query_sum(k << 1 , l ,mid , x , mid , v  + add[k])  
        +
        query_sum(k << 1 | 1 , mid + 1 , r ,mid + 1 , y , v + add[k]);

void update(ll k, ll l , ll r , ll x , ll y , ll v )
    sum[k] += v * (y - x + 1);
    if(l == x && r == y)
        add[k] += v; 
        return;
    
    ll mid = (l + r) >> 1;
    if(y <= mid)
        update(k << 1 , l , mid , x , y , v );
    else
        if(x > mid)
            update(k << 1 | 1 , mid + 1 , r , x , y , v);
        else
            update(k << 1 , l , mid , x , mid , v),
            update(k << 1 | 1 , mid + 1 , r , mid + 1 , y , v );
    

void build(ll k , ll l ,ll r)
    if(l == r)
        sum[k] = res[(l+r) >> 1];
        return;
    
    ll mid = (l + r) >> 1;
    build(k << 1 , l , mid);
    build(k << 1 | 1 , mid + 1, r);
    sum[k] = sum[k << 1] + sum[k << 1 | 1];

ll read()

    ll ans = 0 , mark = 1; char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9')
        if(c == '-')
            mark = -1;
        c = getchar();
    
    while(c >= '0' && c <= '9')
        ans = ans * 10 + c -'0';
        c = getchar();
    
    return ans * mark;