有关矩阵快速幂

Posted 2022-05-23 sdfzjdx

矩阵快速幂可以将O(n)的线性递推优化到O(log n)， 是非常优秀的优化

做了许多题，感觉还好，学到了不少。

但是，做P2151 [SDOI2009]HH去散步 时，整个人都自闭了。自闭一个上午+一个中午后，下午终于想明白了。

AC后，写篇博客记录一下矩阵快速幂的有关事宜。

1. 手写矩阵结构体，封装各种函数。

    1 struct Mar
    2     int a[maxm][maxm],n;
    3     Mar (int _n=0) n=_n;memset(a,0,sizeof a);//不传参数默认为0
    4     Mar operator ~ () for(int i=0;i<n;i++) a[i][i]=1;//单位矩阵
    5     Mar operator * (const Mar &b) const 
    6         Mar c(n);
    7         for(int i=0;i<n;i++) for(int j=0;j<n;j++) for(int k=0;k<n;k++)
    8             c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a[i][k]%mod*b.a[k][j]%mod)%mod;
    9         return c;
   10     
   11     Mar operator ^ (int b)//快速幂
   12         Mar c(n),x=*this;~c;//  "*this" 有意思
   13         while(b)
   14             if(b&1) c=c*x;
   15             x=x*x;
   16             b>>=1;
   17         
   18         return c;
   19     
   20 ;

2. Mar ans(15) 表示开一个长宽为n的矩阵； Mar ans() 表示开一个长宽为0的矩阵。
3. 矩阵乘法不满足交换律，要分清左乘与右乘；
4. P2151 [SDOI2009]HH去散步 有点不同，把点的联通关系替换为边的联通关系，无向边二倍存储为单向边。我终于发现了矩乘的原理：      如图表示A*B=C

　　　　　　看起来像三视图的感觉。彩色线表示长度是相等的，蓝色线是能相乘的条件。

　　　　　　C中的第i行，第j列的值等于把A的第i行拿出来，B的第j列拿出来，放在一起顺次相乘 （就是和图中蓝线类似）。

　　　　　　没了。。