浅谈树的重心

Posted 2022-05-22 knife-rose

浅谈树的直径

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定义：

　　树上一节点最大子树的节点数最小；

性质：

　　1.删除重心后所得的所有子树，节点数不超过原树的1/2，一棵树最多有两个重心；

　　2.树中所有节点到重心的距离之和最小，如果有两个重心，那么他们距离之和相等；

　　3.两个树通过一条边合并，新的重心在原树两个重心的路径上；

　　4.树删除或添加一个叶子节点，重心最多只移动一条边；

求解：

　　求解方法多种多样，分别用到不同的定义和性质：

　　1.定义求解：

　　siz [ i ]表示 i 节点的子树大小 dp [ i ]表示以 i 为根节点的最大子树大小，val[ i ]为i节点的点权，代码通俗易懂不过多解释了

　　

inline void dfs(int now,int fa)

    siz[now]=val[now];
    dp[now]=0;
    for(int i=head[now];i;i=a[i].nxt)
    
        int t=a[i].to;
        if(t==fa) continue;
        dfs(t,now);
        siz[now]+=siz[t];
        dp[now]=max(dp[now],siz[t]);
    
    dp[now]=max(dp[now],n-dp[now]);
    if(dp[now]<dp[ans]) ans=now;

　　2.性质求解：

　　一般来说定义求解就够用了，但在某些时候性质求解更方便实用；

　　根据性质2：我们可以处理出所有节点到某一节点的距离，取最小值；

　　怎么求出每个节点到某一节点的距离呢？在dfs过程中向下处理是很容易的，所以我们可以先处理出所有节点到根节点的距离qwq　；

　　siz [ i ]同上，f [ i ] 表示节点 i 的所有子节点到 i 的距离和，val[ i ] 同上， a [ i ].val 为边权，设定1 号节点为根节点；

　　

inline void dfs1(int now,int fa,int deep)

    siz[now]=val[now];
    dep[now]=deep;
    for(int i=head[now];i;i=a[i].nxt)
    
        int t=a[i].to;
        if(t==fa) continue;
        dfs1(t,now,deep+a[i].val);
        siz[now]+=siz[t];
        f[now]+=f[t]+siz[t]*a[i].val;
    

 

　　对于f数组的处理的理解：t的所有子节点到t的距离+now的当前子树所有节点到now的距离。

　　这样就求得了根节点的距离和，我们再通过根节点递推其他节点的距离和，有如下公示：

　　f [ now ] = f [ fa ] +（ siz [ 根节点 ] - 2 * siz [ now ]）* 边权；（now！= 根节点）

 

　　理解如下：

　　对于now的子节点，每个节点的距离减少了一个边权，总距离减少 siz [ now ] * 边权 ，对于非v子节点，每个节点距离增加了一个边权，总距离增加（siz[ 根 ]-siz [ now ]）*边权

　　

inline void dfs2(int now,int fa)

    if(now^root) f[now]=f[fa]+siz[1]-2*siz[now];
    if(f[now]<sum) res=now,sum=f[now];
    for(int i=head[now];i;i=a[i].nxt)
    
        int t=a[i].to;
        if(t==fa) continue;
        dfs2(t,now); 
    

 

  to be continue……