浅谈匈牙利算法

Posted 2022-05-21 h-lka

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二分图最大匹配的模板。

对于二分图：

我们称，一个图中，当且仅当其没有奇环时，是一个二分图。

那么，最大二分图匹配就是：

给定二分图，现在要选出一些边，使得与每一个点相连的边最多选出一条，求最多选出的边数。

当所有边都被匹配上时，称之为一个完美的二分图匹配。

来一个例题吧：

 

从前有a个男生和b个女生，有一些男女之间有互相喜欢的关系，现在它们想要两两配对，怎样配对才能让配成的对数尽可能多？

这就是上面那一句话啊。

我们来模拟一下匈牙利算法的流程。

我们规定：第一天，每个男生按顺序取找女生表白。

其中，每个女生每天只能被表白一次。

对于找到的女生，如果她没有对象，就暂时接受。

如果有，就让她原来的对象尝试去找新的女生表白。

如果他成功的，她就抛弃他，去接受这个新的。

否则，就拒绝这个新来的。

例如：

1,2.3是男生，ABC是女生。

引入老师的话：

第一天，1向A表白，A答应了。

第二天，2向A表白，A说“可是我已经答应1了耶，要不你去跟他商量商量？”于是2来到1的家里，谁知1拔出手枪指向2喊“滚！”

第三天，2向B表白，B答应了。

第四天，3向B表白，开着坦克隆隆地推到2家门口……

第五天，2向C表白……

匈牙利真是一个好地方！

就这样，这就是匈牙利（神奇的地方）算法！

于是，我们可以这样实现：

用临接表存边，暴力枚举A图中的点，再暴力枚举B图中的点。

令vis数组表示x点是否已经访问过，match表示x所匹配的点。

若已经访问过，pass.

没有的话，判断：

当它没有匹配或者是它匹配的点换人了，它就要尝试去换了。

这时返回true。

如果一直没有匹配到，就返回false好了。

把每次的结果加起来，求出A图中所有点的匹配数，即为答案。

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int match[500000],vis[500000];
int n,m,E,ans,head[500000],tot;
struct node
    int nxt,to;
e[500000];
inline void add(int x,int y)
    e[++tot].nxt=head[x];
    e[tot].to=y;
    head[x]=tot;

void read(int &x) 
    x=0;
    int f=1;
    char ch=getchar();
    while (ch<‘0‘||ch>‘9‘) 
        if (ch==‘-‘)f=-f;
        ch=getchar();
    while (ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) 
        x=x*10+ch-48;
        ch=getchar();
    x*=f;

bool dfs(int x)
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
        int j=e[i].to;
        if(vis[j])continue;
        vis[j]=1;
        if(!match[j]||dfs(match[j]))
            match[j]=x;
            return true;
        
    return false;

void work()
    for(int i=1;i<=n;++i)
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        ans+=dfs(i);
    

int main()
    read(n);read(m);read(E);
    for(int i=1;i<=E;++i)
        int x,y;
        read(x);read(y);
        if(x>=1&&x<=n&&y>=1&&y<=m)add(x,y);
    
    work();
    printf("%d\\n",ans);
    return 0;