从“约瑟夫问题”谈起

Posted 2022-05-20 cs-whut

      约瑟夫问题是一个出现在计算机科学和数学中的问题。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。

      据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想自杀。为避免与其他39个决定自杀的犹太人发生冲突，Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

      17世纪的法国数学家加斯帕在《数目的游戏问题》中讲了这样一个故事：15个教徒和15 个非教徒在深海上遇险，必须将一半的人投入海中，其余的人才能幸免于难，于是想了一个办法：30个人围成一圆圈，从第一个人开始依次报数，每数到第九个人就将他扔入大海，如此循环进行，直到仅余15个人为止。问怎样的?排法，才能使每次投入大海的都是非教徒。

【例1】约瑟夫问题。

      N个人围成一圈，从某个人开始，按顺时针方向从1开始依次编号。从编号为1的人开始顺时针“1，2，…M”报数，报到M的人退出圈子。这样不断循环下去，圈子里的人将不断减少。由于人的个数是有限的，因此最终会剩下一个人，该人就是优胜者。输入N和M，输出出圈顺序。
例如，N=6、M=5，出圈的顺序是：5，4，6，2，3，1。

      （1）编程思路。

      为输出出圈顺序，采用一个数组来进行模拟。

      定义int circle[N+1]，并按circle[i]=i+1的方式赋予各元素初值。该值代表两个含义：1）值为0，代表编号i+1的人不再圈中；2）值非0，代表圈中第i个位置的人编号为i+1。

      定义变量i代表报数位置的流动，i的初值为0，代表编号为1的人的位置，i的变化方式为：

 i=(i+1)%(n)，即0-->1-->2……->n-1  ->0-->1……。

     i流动到了位置i后，该位置的人若已出圈（circle[i]==0），显然无法报数，得跳过该位置；若该位置的人在圈中，则报数（定义一个表示报数的变量p，初值为0，每次报数p++）。

    当报数到m（即p==m）时，位置i的人出圈，记录出圈人数cnt++，同时p置为0。当出圈人数等于N时循环结束。

      （2）源程序。

#include <stdio.h>
int main()

      int n,m,i,p,cnt;
      int circle[50];
      while (scanf("%d%d",&n,&m) && n!=0)
     
           for (i=0;i<n;i++)
               circle[i]=i+1;
           i=0; // 报数指示
           p=0; // 报数计数器
           cnt=0; // 出队人数
           while (cnt<n)
           
                 if (circle[i]!=0) p++;
                 if (p==m)
                 
                      printf("%d ",circle[i]);
                      cnt++;
                      circle[i]=0;
                      p=0;
                 
                  i=(i+1)%(n);
             
             printf("\n");
     
      return 0;

下面我们从例1的基础上进行扩展讨论。

例如，运行例1的程序时，输入41  3，则输出为：

3  6  9  12  15   18   21   24   27   30   33   36   39   1   5   10   14   19   23   28   32   37

41  7  13  20  26  34  40  8  17  29  38  11  25  2  22  4  35  16  31

      为这个输出结果进行的模拟是需要耗时的。实际上，在大多数问题中，我们不关心中间的结果，只关心某个最终结果。例如，在Josephus 的故事中，Josephus 和他的朋友不想自杀，Josephus 需要关心的是最后一个和倒数第2个出圈的编号是多少，至于中间过程（39个犹太人谁先自杀，谁后自杀）对Josephus 来说无意义。因此，Josephus 需要的是快速确定最后一个和倒数第2个出圈的编号，然后站到对应位置即可。而无需耗时模拟整个过程。

【例2】猴子选大王。

      一堆猴子都有编号，编号是1，2，3 ...m，这群猴子(m个)按照1~m的顺序围坐一圈，从第1开始数，每数到第N个，该猴子就要离开此圈，这样依次下来，直到圈中只剩下最后一只猴子，则该猴子为大王。已知猴子数m和报数间隔n（设1<=n<=m<=50），问编号为多少的猴子当大王？

      （1）编程思路1。

       将例1的源程序略作修改，增加一个变量last记录最后获胜者编号，不输出中间过程。显然，

if (cnt==n) last=circle[i];

       （2）源程序1。

#include <stdio.h>
int main()

     int n,m,i,p,cnt,last;
     int circle[50];
     while (scanf("%d%d",&n,&m) && n!=0)
     
         for (i=0;i<n;i++)
             circle[i]=i+1;
         i=0; // 报数指示
         p=0; // 报数计数器
         cnt=0; // 出队人数
         while (cnt<n)
         
              if (circle[i]!=0) p++;
              if (p==m)
             
                   cnt++;
                   if (cnt==n) last=circle[i];
                   circle[i]=0;
                   p=0;
             
              i=(i+1)%(n);
       
       printf("%d\n",last);
   
    return 0;

（3）编程思路2。

       源程序1中采用数组模拟，由于猴子在圈中还是出圈是通过数组元素circle[i]的值非0还是0来判断，位置并未真正删除，因此当n和m很大时，程序的执行效率很低。例如，仅求最后一个出圈的元素，循环就得执行m*n次（p从1报到m，每次报数流动i得走完整一圈，其中n-1个已出圈，圈中仅一个元素）。

      为提高运行效率，可以考虑采用循环链表来进行模拟，这样每次出圈就将链表中的相应元素删除。循环链表只剩最后一个元素时，输出胜者编号。

       （4）源程序2。

#include <stdio.h>
struct Jose

      int code; // 编号
      Jose *next;
;
int main()

      Jose *head,*p1,*p2;
      int n,m,i,cnt,tmp;
      scanf("%d%d",&n,&m);
      while (n!=0 && m!=0)
     
            head=new Jose;
            head->code=1;
            p2=head;
            for (i=2;i<=n;i++) // 创建循环链表
           
                p1=new Jose;
                p1->code=i;
                p2->next=p1;
                p2=p1;
           
            p2->next=head;
            p1=head;
            cnt=n;
            while (cnt>1)
           
                  tmp=m%cnt; // 提高效率之举，当m大于圈中人数时会循环多圈，可以不用
                  if (tmp==0) tmp=cnt;
                  i=1;
                  while (i<tmp)       // 报数m-1次
                 
                        i++;
                        p2=p1;
                        p1=p1->next;
                   
                   p2->next=p1->next; // 报m的结点出圈
                   delete p1; // 释放出圈结点的空间
                   cnt--;
                   p1=p2->next;
           
           printf("%d\n",p1->code);
           delete p1;
           scanf("%d%d",&n,&m);
   
    return 0;

（5）编程思路3。

      本例中的源程序2相比源程序1可以提高运行效率，但毕竟也是采用过程模拟，因此对于n和m较大的情况，效率仍然不高。有没有可以根据n和m的值直接推出最后出圈人编号的办法呢？

       为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意。

　　问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
　　我们知道第1个人（编号一定是(m-1)%n）出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
　　k , k+1 , k+2  ...  n-2 , n-1 , 0 , 1 , 2 , ... k-2
　　并且从k开始报0。
　　现在我们把他们的编号做一下转换：
　　k --> 0     　　 k+1 --> 1　  　k+2 --> 2
　　        ...    　　          ...
　　k-3 --> n-3　　k-2 --> n-2
　　变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据转换把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？

      下面我们来推导变回去的公式。

       序列1： 1 , 2 , 3 , 4 ,  …k-1 , k , k+1  ,…， n-2 , n-1 , n
　　序列2： 1 , 2 , 3 , 4 , … k-1 ,  k+1 , … , n-2 , n-1 , n
　　序列3：  k+1 , k+2 , k+3 , …,  n-2 , n-1 , n ,  1 , 2 , 3 ,… , k-2 , k-1
　　序列4： 1 ,  2 , 3 , 4 , … , 5 , 6 , 7 , 8 , …, n-2 , n-1
　　∵  k=m%n;

   　∴  x‘ = x+k = x+ m%n ;   而  x+ m%n 可能大于n

　　∴ x‘=  (x+ m%n)%n =  (x+m)%n 。
　　如何知道(n-1)个人报数的问题的解f(n-1)呢？ 显然只要知道(n-2)个人的解f(n-2)就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求f(n-3) ---- 这显然就是一个倒推问题！
　　令 f[i] 表示i个人玩报m退出的约瑟夫环游戏的最后胜利者的编号，则有递推公式：
　　f[1] = 0 ;
　　f[i] = (f[i-1]+m)%i;     (i>1)
　　有了这个递推公式，我们就很容易求得n个人报m退出的约瑟夫问题的最后胜利者编号f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1即可。

       编写程序时，我们可以采用数组递推以便保存中间结果，也可以不保存中间任何结果采用迭代直接得到最后胜利者编号。

       （6）采用迭代方式实现的源程序3。

#include <stdio.h>
int main()

      int n,m,i,s;
      scanf("%d%d",&n,&m);
      while (n!=0 && m!=0)
     
           s=0;
           for (i=2;i<=n;i++)
                s=(s+m) % i;
           printf("%d\n",s+1);
           scanf("%d%d",&n,&m);
     
      return 0;

（7）采用递推方式实现的源程序4。 

// 采用打表的方式，先将所有的值求出来保存在二维数组f[51][51]中。
// f[n][m]的值代表n个人报m游戏的最后胜利者编号。
// 则有 f[i][m]=0, (i=1)
// f[i][m]= (f[i-1][m]+m)%i (i>1)
#include <stdio.h>
int main()

     int n,m,i,j,f[51][51];
     for (i=1;i<51;i++)
           f[1][i]=0;
     for (i=1;i<51;i++)
     
           for (j=2;j<51;j++)
                f[j][i]=(f[j-1][i]+i)%j;
     
     scanf("%d%d",&n,&m);
     while (n!=0 && m!=0)
     
            printf("%d\n",f[n][m]+1);
            scanf("%d%d",&n,&m);
     
     return 0;

 【例3】城市断电。

      有n（3<=n<150）个城市围成圈，先将第1个城市（编号为1）断电，然后每隔m个城市使一个城市断电，直到剩下最后一个城市不断电。问使2号城市不断电的最小的m是多少？

      （1）编程思路。

      采用例2的求最后胜利者的方式，对n个城市，从m=1开始搜索，若当前m可使2号城市作为胜利者，则m就是所求，否则m=m+1后，继续搜索。

      程序采用打表的方式，先将n=3~149的对应m值求出来并保存到数组ans[150]中。

      另外，需要注意的是第1个城市先断电了，2号城市相当第1个城市，也可以把问题看成编号从1~n-1的约瑟夫问题。

      （2）源程序。

#include <stdio.h>
int main()

      int ans[150],i,j,m,tmp;
      for (i = 3;i<150;i++)
     
           m = 1;
           while(1)
           
                 tmp = 1; // 注意第1个城市已经断电，相当从1~n-1个城市
                 for  (j = 2;j < i; j++)
                 
                      tmp = (tmp + m)%j;
                      if  (tmp == 0)
                     
                          tmp = j;
                       
                 
                  if (tmp == 1) // 最后胜利者是2号城市

                                      // （编号为1一开始就断电，2号相当圈中第1个城市）
                 
                       ans[i] = m;
                       break;
                   
                   m++;
             
     
     int n;
     scanf("%d",&n);
     while (n!=0)
     
           printf("%d\n",ans[n]);
           scanf("%d",&n);
     
     return 0;

将此源程序提交给POJ 2244 “Eeny Meeny Moo”，可以Accepted。