关于最小割建模正确性证明

Posted 2022-05-20 formerautumn

来写一下对于最小割建模正确性的理解，困扰了好几天，今天算是看懂了。
前置知识：闭合子图，即一张图，图中边的终点也在该图中（可以选某点，但是不选它连接的边），其实就是割开一些边拿到一张闭合子图。
首先，明确一点，最初始的情况是只有点权，边代表关系$i \rightarrow j$表示选$i$必须选$j$如此云云。一般的套路就是：正权点和S相连，而负权点和T相连，容量均为点权绝对值，而原本的边照连，但是容量为INF。
其次：正确性证明，假设我们已经将$S$、$T$割开，并且$S$肯定是一张闭合子图（不然顺着某边biubiubiu就溜到$T$了），那么我们可以得到如下的一些关系式（$C$是割，$W$是我们需要的价值，$S_+$、$S_-$表示目前$S$所在图中的正（负）权点之和，$T$同理）：
$$sm = \sum_i \in V, vak[i]>0 val[i]$$
$$C = T_+ + \vert S_- \vert$$
$$W = S_+ - \vert S_- \vert$$
$$C+W = S_+ + T_+ = sm$$
最后合并，发现$C+W=sm \rightarrow W=sm-C=sm-maxflow$，即我们想要的价值，是总的正权点和减去我们建出来图的最小割（即最大流），于是乎就可以解释为什么是上述所说一般套路的建图方式了。
一般来说，正权点就表示拿这个点可以得到收益，但是拿这个点必须拿一些别的点，此时必须拿的这些点会带来花费。
模板：线性代数，我就是从这题理解的