ACM-ICPC 2015 Changchun Preliminary Contest J. Unknown Treasure （卢卡斯定理+中国剩余定理）

Posted 2022-05-18 zjl192628928

题目链接：https://nanti.jisuanke.com/t/A1842

题目大意：给定整数n,m,k,其中1≤m≤n≤10¹⁸,k≤10,

然后给出k个素数，保证M=p[1]*p[2]……*p[k]≤10¹⁸,p[i]≤10⁵

求C(n,m)%(p[1]*p[2]……*p[k])

 

解题思路：因为模数太大，所以我们先用卢卡斯定理求出对每个素数的模，然后再通过中国剩余定理就可以求得对它们的乘积的模。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll M,n,m,k,a[15],b[15];
ll qmul(ll a,ll b,ll p)
    ll res=0;
    while(b)
        if(b&1) res=(res+a)%p;
        b>>=1;
        a=(a+a)%p;
    
    return res;

void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y,ll &d)
    if(!b)
        x=1,y=0,d=a;
    else
        exgcd(b,a%b,y,x,d);
        y-=a/b*x;
    

ll INV(ll a,ll p)
    ll x,y,d;
    exgcd(a,p,x,y,d);
    return (x%p+p)%p;

ll C(ll a,ll b,ll p)
    if(a<b)return 0;
    if(b==0)return 1;
    if(a-b<b)b=a-b;
    ll ca=1,cb=1;
    for(int i=0;i<b;i++)
        ca=ca*(a-i)%p;
        cb=cb*(b-i)%p;
    
    return ca*INV(cb,p)%p;

ll lucas(ll a,ll b,ll p)
    ll res=1;
    while(a&&b)
        res=res*C(a%p,b%p,p)%p; //C(n,m)%p=C(n%p,m%p)*C(n/p,m/p)%p
        a/=p;
        b/=p;
    
    return res;

ll crt()
    ll x,y,d,res=0;
    for(int i=1;i<=k;i++)
        ll Mi=M/b[i];
        exgcd(Mi,b[i],x,y,d);
        x=(x%b[i]+b[i])%b[i];
        ll tmp=qmul(a[i],qmul(Mi,x,M),M);
        res=(res+tmp)%M;
    
    return (res%M+M)%M;

int main()
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
        M=1;
        for(int i=1;i<=k;i++)
            scanf("%lld",&b[i]);
            a[i]=lucas(n,m,b[i]);
            M*=b[i];
        
        printf("%lld\n",crt());
    
    return 0;