组合数学入门+例题

Posted 2022-05-17 moyujiang

前言

组合数学是数论的一部分，应该算是入门，但是卡常的组合数题目真的是毒瘤

简介

(摘自知乎)

组合数学（Combinatorics）是纯数学的一个分支，主要研究离散、有限或可数的数学结构。
除了纯数学，组合数学在应用数学、理论物理、计算机科学等分支也有着很多应用。在计算机科学中，组合数学又被称作 “离散数学”。
在美国数学会的学科分类中，组合数学下设五个子学科，分别为：计数组合、设计理论、图论、极值组合、代数组合。

基础知识点：组合数

从\(n\)个不同元素中，任取\(m(m≤n)\)个元素并成一组，叫做从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的一个组合;从\(n\)个不同元素中取出\(m(m≤n)\)个元素的所有组合的个数，叫做从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的组合数。
我们通常用\(C^n_m\)来表示上面这种情况。
基础计算公式：
\(C^n_m=\fracm!n!(m-n)!\)

例题部分

1.[HNOI2008]越狱
2.SAC#1 - 组合数
3.妖梦拼木棒
(\(luogu\)上都能搜到)

重点讲讲第二个
题目的意思是：
给定一个n，求\(\beginmatrix \sum_i=1^N C(n,i) \endmatrix\)，这里的\(C(n,i)\)表示在n件物品里无序选取i件的组合数，当然，题目限制i必须是偶数。
首先：
\(C_n^0+C_n^1+C_n^2+...+C_n^n=2^n\)
这个应该不难理解，可以理解为每件物品都有选或者不选，件数不限，所以可以用\(2^n\)表示总和。
其次：
\(C_n^0-C_n^1+C_n^2-C_n^3+(-1)^nC_n^n=0\)
根据上面那个式子就可以得到这个。最后一项的符号根据n来确定。
所以：
\(C_n^0+C_n^2+C_n^4+...=C_n^1+C_n^3+C_n^5+...=2^n-1\)
第二个式子就告诉我们，正数项和负数项的数值和是相同的，所以总和是0，第一个式子也可以得出这两个相同值的式子的和是2^n，所以它们各自值的绝对值就是\(2^n-1\).
所以，题目中所求的，用快速幂就可以很快求出来...
代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long qpow(long long a,long long b,long long p)

    long long x=a;
    long long ans=1;
    while(b)
    
        if(b&1)
            ans*=x;
        ans%=p;
        (x*=x)%=p;
        b>>=1;
    
    return ans;

int main()

    long long a,b,p;
    cin>>b;
    cout<<qpow(2,b-1,6662333)<<endl;
    return 0;

另外两道题目讲讲思路吧：
1.越狱这道题一样用推导公式，首先算出所有犯人加在一起的所有状态，减去所有相邻房间的犯人的宗教不相同的情况,即为答案。
3.木棍长度最长才5k，外层枚举有两根的长度的木棍，然后内层循环找另外两根更短的能够组成第三边的，找到了就方案数++.
ov.
摸鱼酱.