每日算法 ---- 杨辉三角

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了每日算法 ---- 杨辉三角相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

杨辉三角

  1. 每个数等于它上方两数之和。
  2. 每行数字左右对称,由1开始逐渐变大。
  3. 第n行的数字有n项。
  4. 第n行的m个数可表示为 C(n-1,m-1),即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。
  5. 第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ,为组合数性质之一。
  6. 每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和,这也是组合数的性质之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。
  7. (a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
  8. 将第2n+1行第1个数,跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线,这些数的和是第4n+1个斐波那契数;将第2n行第2个数(n>1),跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。
  9. 将第n行的数字分别乘以10^(m-1),其中m为该数所在的列,再将各项相加的和为11^(n-1)。11^0=1,11^1=1x10^0+1×10^1=11,11^2=1×10^0+2x10^1+1x10^2=121,11^3=1x10^0+3×10^1+3x10^2+1x10^3=1331,11^4=1x10^0+4x10^1+6x10^2+4x10^3+1x10^4=14641,11^5=1x10^0+5x10^1+10x10^2+10x10^3+5x10^4+1×10^5=161051。
  10. n行数字的和为2^(n-1)。1=2^(1-0),1+1=2^(2-1),1+2+1=2^(3-1),1+3+3+1=2^(4-1),1+4+6+4+1=2^(5-1),1+5+10+10+5+1=2^(6-1)。
  11. 任一对角线上数字的和等于其向右拐弯,拐角上的数字。1+1=2,1+1+1=3,1+1+1+1=4,1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,1+3=4,1+3+6=10,1+4=5。
  12. 将各行数字左对齐,其右上到左下对角线数字的和等于斐波那契数列的数字。1,1,1+1=2,2+1=3,1+3+1=5,3+4+1=8,1+6+5+1=13,4+10+6+1=21,1+10+15+7+1=34,5+20+21+8+1=55。

技术图片


 /**
     * 打印杨辉三角
     *  是 二项式系数 在三角形中的一种几何排序
     */
    public function test()
    
        echo "<pre>";
        $arr = [];
        $N = 10; //打印几层
        for($i = 0; $i<$N; $i++)  //几层
            for($m = 0;$m<$N-$i;$m++) 
                print_r(' ');
            
            for($j = 0; $j<=$i; $j++)
            
                if((0 == $j)||($i == $j))
                    $arr[$i][$j] = 1;
                else
                    $arr[$i][$j] = $arr[$i-1][$j] + $arr[$i-1][$j-1];
                
                print_r($arr[$i][$j]);
            
            print_r("\\n");
        
    

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