莫队算法（离线）

Posted 2022-05-10 wzc521

何谓莫队算法

莫队算法是莫涛队长发明的，为表示对他的尊敬，故称这种算法叫莫队。

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适用范围

一种处理序列操作的离线算法，适用范围广，复杂度一般带根号。

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莫队算法的思路

假设题目不涉及修改操作。

将所有操作离线，将所有操作进行二元组排序，第一维是左端点所在块的编号，第二维是右端点。

排序后，按照顺序处理询问，维护一个双端队列，同时维护队列内区间的答案，每次从$[L,R]$的答案,扩展到$[L-1,R]$ $[L,R-1]$ $[L+1,R]$ $[L,R+1]$的答案，最终得到当此询问区间的答案。

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时间复杂度分析

假设序列长度为$n$，询问数为$m$，分块块长为$d$，那么左端点在同一块内时，左端点移动每次不超过$d$，右端点总共移动不超过$n$，显然是$\Theta (m\times d+\fracn^2d)$，令$d=\sqrtn$，$n,m$同阶，则时间复杂度为$\Theta(n\sqrtn)$，常熟很大。

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莫对算法的本质

莫队算法的精髓在于，离线的情况下，通过调整询问与修改间的顺序，由已知的答案扩展到未知的答案，以优秀的计算顺序换取优秀的时间复杂度。
每个询问$[L,R]$可以看作平面上的整点$(L,R)$，和另一个询问$(l,r)$之间的曼哈顿距离即为两个询问间转移的代价。
我们要做的就是通过调整顺序，最小化询问间转移的代价之和。
最优的计算顺序即为这些点的曼哈顿最小生成树,然而求解这东西非常麻烦，于是我们采取直接排序这一更为暴力的方法，获得时间复杂度和代码复杂度的平衡。

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什么时候用莫队算法

当题目要求的操作较为复杂，限制性强，用线段树等数据结构不容易维护信息，或者维护信息复杂度较高，且题目对于时间的要求较为宽松时，支持离线，可以考虑使用莫队。
时间复杂度一般带根号，带修改莫队复杂度更高，且常数大，如果可以直接线段树或者分块干掉的题目，尽量不要使用莫队，有些题跑的真的很慢（即使你算出的时间复杂度非常优秀）。

适用条件：

　　在序列上由$[L,R]$的答案伸缩左右端点时，仅为$\Theta (1)$的复杂度。某些$\Theta (\log n)$转移答案的强行用莫队做，甚至不如$\Theta O(n^2)$暴力跑得快。

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注意

　　1.++和--是在前还是在后。

　　2.一般情况下四种操作的顺序无所谓，但是有的题是有影响的，比方说：BZOJ4358:permu。

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代码时刻

普通莫队：

struct rec

	int id;
	int l;
	int r;
	int pos;
q[N];
int a[N];
int ans[N];
bool cmp(rec a,rec b)return a.pos==b.pos?a.r<b.r:a.pos<b.pos;
int main()

	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int t=sqrt(n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	
		scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r);
		q[i].id=i;
		q[i].pos=(q[i].l-1)/t+1;
	
	sort(q+1,q+m+1,cmp);
	int l=1,r=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	
		while(l>q[i].l)upd(--l,1);
		while(r<q[i].r)upd(++r,1);
		while(l<q[i].l)upd(l++,0);
		while(r>q[i].r)upd(r--,0);
	
	for(int i=1;i<=m;i++)
		printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;

奇偶莫队：

bool cmp(rec a,rec b)return (a.pos)^(b.pos)?a.l<b.l:(((a.pos)&1)?a.r<b.r:a.r>b.r);

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rp++