BSGS算法！

Posted 2022-05-08 oierglh

 求解关于x的方程

a^x=z(mod p),其中gcd(a,p)=1.

 

做法的话并不难，但是要搞懂细节还蛮多的。

 

bsgs算法是这样的：x可以写成i*m-j的形式（这里m取值随意，但是取√p上取整时跑的最快）

　　a^(im-j)≡z(mod p)

　　推得  a^im≡z*(a^j)

那么我们枚举j的值从0--（m-1），将算出的z*(a^j)加入map里面

再枚举i从1-m，将每次算出的a^im的结果去map中匹配

若匹配到，x=i*m-j。

 

细节

1.i的范围从1到m

证明：

a ^ x Ξ b (mod p) 

a ^ (p-1) Ξ 1 (mod p)

若x大于等于p-1

则a^xΞa^(p-1) * a^(x-p+1)Ξa^(x-p+1)

故x小于p-1

又m=√p

故i从1到m

得证

2.为什么bsgs在跳步过程中没有漏解

原因：在枚举i的过程中，看似是跳过了好多情况，但是其实在计算了每一个i之后，都会去map里面找每一个j去对应，相当于是将每一个i所对应的余数（剩余系）都枚举了一遍，即枚举了一遍完整的x的范围（因为x=i*m-j）。

 

模板题https://www.luogu.org/problemnew/show/P2485

洛谷p2485  计算器

bsgs裸题

直接粘代码

 

CODE!

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll t,k,y,z,p;
map<ll,ll>a;
ll fpow(ll a,ll b,ll p)

    ll ret=1;
    while(b)
    
        if(b&1) ret=(ret*a)%p;
        b>>=1;
        a=(a*a)%p;
    
    return ret;

void exgcd(ll a,ll b,ll &gcd,ll &xx,ll &yy)

    if(!b)
    
        xx=1,yy=0;
        gcd=a;
        return;
    
    exgcd(b,a%b,gcd,xx,yy);
    ll tr=xx;
    xx=yy;
    yy=tr-a/b*yy;

int main()

    cin>>t>>k;
    if(k==1) 
    
        while(t--)
        
            scanf("%lld%lld%lld",&y,&z,&p);
            printf("%lld\n",fpow(y,z,p));
        
    
    else if(k==2)
        
            while(t--)
            
                scanf("%lld%lld%lld",&y,&z,&p);
                ll gcd,xx,yy;
                exgcd(y,p,gcd,xx,yy);
                if(z%gcd!=0) printf("Orz, I cannot find x!\n");
                else 
                
                    xx*=z/gcd;
                    xx%=(p/gcd);
                    printf("%lld\n",(xx+(p/gcd))%(p/gcd));
                
            
            
        
        else
        
            while(t--)
            
                scanf("%lld%lld%lld",&y,&z,&p);
                ll m=ceil(sqrt(p));
                if(y%p==0&&z) printf("Orz, I cannot find x!\n");continue;;
                a.clear();
                ll now=z%p,f=fpow(y,m,p);
                a[now]=0;
                for(ll i=1;i<=m;i++)
                
                    now=(now*y)%p;
                    a[now]=i;
                
                now=1;
                ll flag=0;
                for(ll i=1;i<=m;i++)
                
                    now=(now*f)%p;
                    if(a[now])
                    
                        ll ans=(i*m-a[now])%p;
                        printf("%lld\n",(ans+p)%p);
                        flag=1;
                        break;
                    
                
                if(!flag) printf("Orz, I cannot find x!\n");
            
        
    return 0;

ps.不开long long见祖宗可还行