模板多项式求逆

Posted 2022-05-07 lfri

问题描述

P4328

给定一个多项式 $F(x)$，请求出一个多项式 $G(x)$，满足 $ F(x) * G(x) \\equiv 1(mod \\ x^n)$。系数对998244353998244353取模。

分析

理论基础

这是一个递推式且呈平方倍增加，就可以用倍增求多项式逆元，从 $x^1$ 开始推至 $x^2^m(2^m \\geq  n)$即可。初值 $B = A(0)^-1$。

利用NTT可以将多项式乘法优化至 $nlog_2n$，利用主定理计算得总时间复杂度为 $O(nlog_2n)$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int read() 
    int q=0;char ch=‘ ‘;
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘) ch=getchar();
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) q=q*10+ch-‘0‘,ch=getchar();
    return q;

#define RI register int
typedef long long ll;
const int mod=998244353,G=3,N=4*100000 + 10;  //同NTT，需要4倍的空间
int n;
int a[N],b[N],c[N],rev[N];
inline int qpow(int x,int k)

    int ans=1;
    while(k)
    
        if(k&1)
            ans=(ll)ans*x%mod;
        x=(ll)x*x%mod,k>>=1;
    
    return ans;

void NTT(int *a,int n,int x) 
    for(RI i=0;i<n;++i) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(RI i=1;i<n;i<<=1) 
        RI gn=qpow(G,(mod-1)/(i<<1));
        for(RI j=0;j<n;j+=(i<<1)) 
            RI t1,t2,g=1;
            for(RI k=0;k<i;++k,g=1LL*g*gn%mod) 
                t1=a[j+k],t2=1LL*g*a[j+k+i]%mod;
                a[j+k]=(t1+t2)%mod,a[j+k+i]=(t1-t2+mod)%mod;
            
        
    
    if(x==1) return;
    int ny=qpow(n,mod-2); reverse(a+1,a+n);
    for(RI i=0;i<n;++i) a[i]=1LL*a[i]*ny%mod;

void work(int deg,int *a,int *b) 
    if(deg==1) b[0]=qpow(a[0],mod-2);return;
    work((deg+1)>>1,a,b);
    RI len=0,orz=1;
    while(orz<(deg<<1)) orz<<=1,++len;
    for(RI i=1;i<orz;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
    for(RI i=0;i<deg;++i) c[i]=a[i];  //C=A
    for(RI i=deg;i<orz;++i) c[i]=0;
    NTT(c,orz,1),NTT(b,orz,1);
    for(RI i=0;i<orz;++i)
        b[i]=1LL*(2-1LL*c[i]*b[i]%mod+mod)%mod*b[i]%mod;  //B = 2B-2CB^2 = (2-CB)B
    NTT(b,orz,-1);
    for(RI i=deg;i<orz;++i) b[i]=0;

int main()

    n=read();
    for(RI i=0;i<n;++i) a[i]=read();
    work(n,a,b);
    for(RI i=0;i<n;++i) printf("%d ",b[i]);
    return 0;

 

 

参考链接：https://www.luogu.org/problemnew/solution/P4238