模拟7题解 T2

Posted 2022-05-06 casun547

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[组合数学][中国剩余定理]

 

一场考试难得见两个数学题

本来想矩阵快速幂，显然空间复杂度不行，主要是没时间，就没打

 

正解：

首先推波式子

1.$C_t^k$    在t步中总共选出k步向上走，但最终只会走到m，到达m后，会又向下走k-m步，并会再向上走k-m步

2.$C_t-k^k-m$  在剩下的t-k步中选出向下走的k-m步

 3. 先介绍一个小技巧：eg  10 分成两个数，使两数之和为10，之差为4，

　　　　　　　　　　       则大数（10+4）/2=7，小数（10-4）/2=3

　$C_t-2k+m^\fract-2k+m+n2$    此时还剩t-k-(k-m)=t-2k+m 步，这些用来分给向左和右的步数，因为最终要向右到n

　　　　　　　　　　　　　 所以向右的总步数-向左的总步数=n，由以上技巧

                      　　　　　　    t-2k+m是和，n是差，相加再/2是就是向右的步数

　　　　　　　　　　　　　在$t-2k+m$中选出向右的$\fract-2k+m+n2$步数

用向上，下，和左右的组合数相乘得到总步数

关键是k的范围：首先k>=m，否则上不去，

　　　　　　　　同理向右的$\fract-2k+m+n2$>=n

　　　　　　　　联立解得$k\in[m,\fract+m-n2]$

合起来：$\sum\limits_k=m^\fract+m-n2(C_t^k\times C_t-k^k-m\times C_t-2k+m^\fract-2k+m+n2)$

 

如何实现？

1.对于mod是质数的情况，直接 预处理+lucas定理

2.若mod是由若干个质数相乘得到，将mod分解质因数，

对于每个质因子q[i]，原式对其取模得到的结果就是其余数，记做b[i]

那么问题就转化成了最终结果ans≡b[i](%p[i]) 在%mod情况下的线性同余方程组，用CRT求解即可

 

负数的情况变成正的来处理

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 #include<vector>
 5 #define int long long
 6 using namespace std;
 7 const int maxn=10000000;
 8 int t;
 9 vector<int>q;
10 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
11 
12     if(!b)x=1,y=0;return a;
13     int d=exgcd(b,a%b,x,y);
14     int tmp=x;x=y;y=tmp-(a/b)*y;
15     return d;
16 
17 int b[maxn+5];
18 int crt(int mod)
19 
20     int ans=0;
21     for(int i=0;i<q.size();i++)
22     
23         int tmp=mod/q[i],x,y;
24         exgcd(tmp,q[i],x,y);
25         ans=(ans+tmp*x*b[i])%mod;
26     
27     return (ans%mod+mod)%mod;
28 
29 int inv[maxn+5],fac[maxn+5];
30 void init(int mod)
31 
32     fac[0]=fac[1]=1;
33     inv[0]=inv[1]=1;
34     for(int i=2;i<=t;i++)
35     
36         fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
37         inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
38     
39     for(int i=2;i<=t;i++)
40         inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%mod;
41 
42 int C(int n,int m,int mod)
43 
44     if(m>n)  return 0;
45     return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
46 
47 int lucas(int n,int m,int mod)
48 
49     if(!m)    return 1;
50     return lucas(n/mod,m/mod,mod)*C(n%mod,m%mod,mod)%mod;
51 
52 void divide(int n)
53 
54     for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
55     
56         if(n%i)continue;
57         q.push_back(i);
58         n/=i;
59     
60     if(n>1)q.push_back(n);
61 
62 signed main() 
63 
64     int ans=0,n,m,mod;
65     scanf("%lld%lld%lld%lld",&t,&mod,&n,&m);
66     if(n<0)n=-n;
67     if(m<0)m=-m;
68     divide(mod);
69     int st=m,en=(t+m-n)>>1;
70     if(q.size()==1)
71     
72         init(mod);
73         for(int k=st;k<=en;k++)
74             ans=(ans+lucas(t,k,mod)*lucas(t-k,k-m,mod)%mod*lucas(t-2*k+m,(t-2*k+m+n)>>1,mod)%mod)%mod;
75         printf("%lld\n",ans);
76         return 0;
77     
78     for(int i=0;i<q.size();i++)
79     
80         init(q[i]);
81         for(int k=st;k<=en;k++)
82             b[i]=(b[i]+lucas(t,k,q[i])*lucas(t-k,k-m,q[i])%q[i]*lucas(t-2*k+m,(t-2*k+m+n)>>1,q[i])%q[i])%q[i];
83     
84     printf("%lld\n",crt(mod));
85 

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