初等网络流初步

Posted 2022-05-06 linearode

标题名字乱取的，吐槽一下《初等数论初步》的命名。

1 网络流的概念

1.1 引入

“分配”是生产生活中一类常见的问题。如何分配才最好，是一个有技术含量的问题。
对于“分配最优”的问题，动态规划是一种有效的解决方法。但是，有些分配无法描述出一个准确的“决策”“状态”“阶段”轮廓。我们来看下面这样一个简单的问题：

一个研究性学习小组收到了一个含有25个任务的课题，组内一共有甲，乙，丙，丁，戊五个同学。他们工作的效率和工作的态度（最多愿意做多少任务）各不相同，具体如下：

姓名	任务数上限	单个任务耗时
甲	4	42min
乙	5	56min
丙	6	71min
丁	7	108min
戊	8	121min

假设任务不能同时做，求完成所有任务所需的最小时间。

这个问题似乎不太好用动态规划。以前\\(i\\)个人的顺序划分阶段？似乎不太合适。这里人与人之间的关联似乎不大。

这个问题可以用多维的线性规划来做，也可以考虑用网络流来解决。这是图论中一个重要的算法。

为方便描述，现选定一个组长。我们来看这个简单的流程图：

这个流程图就像一个一个生产线，25个任务从老师那里出来，最后又回到老师那里去了。当然，回去的是完成的任务。
可以对任务作出如下分配：

如图，每一个箭头上都标上了每个人分配的任务，总共耗时33小时13分钟。

可以看到，如果把每个人看成一个节点，那么人只负责“加工”任务，不会“储存”任务。这是一个非常重要的特征。更进一步的，我们可以提炼出其中的数学模型。

1.2 定义

一个网络\\(G\\)是一个有向图，其每一条边\\((x,y)\\)可以用一个非负数\\(c(x,y)\\)表示这条边的“容量”（capacity）。规定如果\\((x,y)\\)不是这个图中的边，则\\(c(x,y)=0\\)。有些时候，网络中的边又叫做弧。

每一个这样的网络中都有两个特殊的节点：源点\\(S\\)和汇点\\(T\\)。

设函数\\(f(u,v)\\)是作用在边\\((u,v)\\)上的函数，满足：
1.\\(f(u,v) \\leq c(u,v)\\)
2.\\(f(u,v) = -f(v,u)\\)
3.\\(\\forall x\\neq S, x \\neq T, \\sum f(u,x) = \\sum f(x,v)\\)
那么称\\(f\\)是网络\\(G\\)的一个流函数。对于一个边\\((u,v)\\)，\\(f(u,v)\\)就是它的流量。

以上这三个性质分别称为容量限制，斜对称，流量守恒。请结合“水流”和“河道”的关系加强理解：水流不会超过河道，且不可压缩。
容量限制还有非常棒的一点：它省去了我写\\(\\sum\\)下标的麻烦，因为不在边上的流量一定是\\(0\\)。（当然，这样做未必标准规范。）

在上面的任务分配中，从“组长”到“甲”的流量为\\(4\\)，从“组长”到“乙”的流量为\\(5\\)，以此类推。

源点\\(S\\)和汇点\\(T\\)比较特殊，它们可以“发送”和“储存”流量。源点向整个网络运输的流量就是整个网络的流量，大小为\\(\\sum f(S,v)\\)。

网络流还有一个有趣的性质：选取一个不含源点、汇点的点集，这个点集也满足流量平衡！这个性质可以看做是高斯定理的“离散版本”，在之后的网络流建模中会有所体现。

网络流的思想非常巧妙；正因如此，用网络流解题不像其他数据结构，是需要花费一点心思的。如何构建网络？如何转换问题？这些都是需要考虑的。

2 有关算法

2.1 最大流算法

网络中的最大流量就叫最大流。一个网络的流函数有很多；但幸运的是，我们可以避免直接对流函数操作，采用一种巧妙的方法。

2.1.1 Edmonds-Karp增广路算法

我们关注源点发送的其中一股流量。这股流量通过一条路径，最终流向了汇点。这样的路径叫做增广路。不难想到，路上的流量\\(f\\)等于路上容量的最小值\\(\\min c\\)。

仔细一想，是不是源点发送的流量都会经过若干条增广路，然后全部流向汇点？我们只要尽可能地找出增广路，就可以求出最大流了！

这就是Edmonds-Karp算法的雏形了。通过BFS，我们可以找到一条增广路，并求出这条路上的流量。如何再找出一条增广路呢？再做一次BFS会返回同样的路径，而直接维护边上的信息又不太方便。

我们考虑直接修改增广路上的容量：求出流量\\(f\\)后，对路上的每一条边\\((x,y)\\)，都执行\\(c(x,y)=c(x,y)-f\\)，防止新的增广路超过容量。请注意，在原来流量\\(f\\)的基础上，我们还可能构造一个“逆流”\\(f'\\)，使得某个\\(f(x,y)\\)直接与\\(f'(x,y)\\)抵消了。这样做是可行的，需要考虑。

通过执行\\(c(x,y)-=f\\)，\\(c(y,x)+=f\\)后，得到的新网络叫做残量网络。在这个网络上添加的流量，一定不会超过原来的容量。

综上，通过BFS探测+构造残量网络的形式，我们可以分别求得若干个可行的流量\\(f,f',f'',\\cdots\\)；相加就得到了整个网络的最大流。

首先是搜索增广路的部分：

inline bool find_argumenting_path()

    memset(visit, 0, sizeof(visit));//标记
    queue<int> q; q.push(S); inq[S] = Inf; visit[S] = true;
    
    while(!q.empty())
    
        int cur = q.front(); q.pop();
        for(rg int e = head[cur]; e; e = edge[e].next)
        
            if(edge[e].capacity <= 0)
                continue;
            
            int to = edge[e].to;
            if(visit[to] == true)
                continue;
            
            inq[to] = min(inq[cur], edge[e].capacity);
            pre_edge[to] = e;//标记边，方便记录路径
            q.push(to); visit[to] = true;
            if(to == T)
                return true;
        
    
    return false;

注意到这里我们用到了一个inq数组，它表示“某个节点的剩余流量”。可以这样理解：我们在源点处注入足够多的水，当水沿着边流动时，其一定要收到边容量的限制。最终到达汇点的水量就是我们本次需要增加的流量。因此，对于边\\((x,y)\\)，一定有inq[y]=min(inq[x], edge[e].capacity)。

一旦找到了增广路，我们就将本次流量加入到答案中，并更新残量网络：

inline void update()

    int cur = T;
    while(cur != S)
    
        int e = pre_edge[cur];
        edge[e].capacity -= inq[T];
        edge[e^1].capacity += inq[T];
        cur = edge[e].front;
    
    max_flow += inq[T];

根据之前的pre标记，我们可以还原一条从T到S的路径，并调整路径上的边的容量。

最后在主程序中代码如下：

while(find_argumenting_path() == true)
    update();

2.2.2 Dinic算法

2.2 最小割

2.3 简单费用流

3 一些练习