邻项交换排序

Posted 2022-05-04 cindy-chan

邻项交换排序

通过找到 决定 相邻两个单位位置 的策略 以推广到整个队伍，是一种通过贪心解决问题的方法。

Luogu P2123 皇后游戏

题目大意

有n个大臣，第i位大臣左手的数为a_i?，右手的数为b_i?，且a_i?和b_i?均为正整数。他能获得的数c_i?由以下关系给出： 

求c_i?最大的大臣的c_i?最小为多少。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个正整数 T，表示测试数据的组数。

接下来 T 个部分，每个部分的第一行包含一个正整数 n，表示大臣的数目。

每个部分接下来 n 行中，每行两个正整数，分别为 a_i和 b_i，含义如上文所述。

 

输出格式：

共 T 行，每行包含一个整数，表示获得奖金最多的大臣所获得的奖金数目。

输入输出样例

输入样例#1： 

1
3
4 1
2 2
1 2

输出样例#1： 

8

输入样例#2：

2
5
85 100
95 99
76 87
60 97
79 85
12
9 68
18 45
52 61
39 83
63 67
45 99
52 54
82 100
23 54
99 94
63 100
52 68

输出样例#2： 

528
902

说明

按照 1、2、3 这样排列队伍，获得最多奖金的大臣获得奖金的数目为 10；

按照 1、3、2 这样排列队伍，获得最多奖金的大臣获得奖金的数目为 9；

按照 2、1、3 这样排列队伍，获得最多奖金的大臣获得奖金的数目为 9；

按照 2、3、1 这样排列队伍，获得最多奖金的大臣获得奖金的数目为 8；

按照 3、1、2 这样排列队伍，获得最多奖金的大臣获得奖金的数目为 9；

按照 3、2、1 这样排列队伍，获得最多奖金的大臣获得奖金的数目为 8。

当按照 3、2、1 这样排列队伍时，三位大臣左右手的数分别为：

(1, 2)、(2, 2)、(4, 1)

第 1 位大臣获得的奖金为 1 + 2 = 3；

第 2 位大臣获得的奖金为 max3, 3 + 2 = 5；

第 3 为大臣获得的奖金为 max5, 7 + 1 = 8。

对于全部测试数据满足：T≤10, 1≤n≤20 000,1≤a_i?,b_i?≤10⁹。

分析

Part 1

我们要找大臣的顺序，且排列顺序没有后效性，我们不妨拎出相邻的大臣i与大臣j。

设这两位大臣之前的大臣获得的奖金为y，之前的所有大臣左手上的数之和为x。

①当大臣1排在大臣2之前时：

大臣i的奖金：max( y,x+a_i )+b_i

大臣j的奖金：max( c_i,x+a_i+a_j )+b_j

②当大臣1排在大臣2之前时：

大臣j的奖金：max( y,x+a_j )+b_j

大臣i的奖金：max( c_j,x+a_i+a_j )+b_i

我们比较两种情况，分析满足何种条件时我们才能把大臣i放在前面。

显然，当一个大臣被放在后面时，一定比他放在前面时得到的奖金多（证明略）

为了比较奖金最多大臣的奖金多少，我们进而比较被放在后面时两个大臣的奖金数。

为使情况最优，max( c_i,x+a_i+a_j )+b_j < max( c_j,x+a_i+a_j )+b_i

=> max( max( y,x+a_i )+b_i,x+a_i+a_j )+b_j < max( max( y,x+a_j )+b_j,x+a_i+a_j )+b_i

=> max( y+b_i,x+a_i+b_i,x+a_i+a_j )+b_j < max( y+b_j,x+a_j+b_j,x+a_i+a_j )+b_i

=> max( y+b_i+b_j,x+a_i+b_i+b_j,x+a_i+a_j +b_j) < max( y+bj+bi,x+aj+bj+bi,x+ai+aj+b_i )

 由于两式中都有 y+b_i+b_j，我们忽略不计算。

=>  max( x+a_i+b_i+b_j,x+a_i+a_j +b_j) < max( x+aj+bj+bi,x+ai+aj+b_i )

为化简式子，我们同时减去 x+a_i+a_j+b_i+b_j

=> max( -a_j,-b_i) < max( -a_i,-b_j )

=> min( a_j,b_i ) < min( a_i,b_j )

 

Part 2

于是如果您的sort的cmp函数写成：

bool operator <(node a) const

     return min(x,a.y)<min(y,a.x);

或许能水过洛谷的数据，但是是错解。

这里从Luogu题解中找到了一组hack数据：

2

7

6 3

1 1

7 3

1 1

1 6

1 1

6 10

 

7

6 10

1 1

6 3

1 1

7 3

1 1

1 6

上面两组数据只是顺序不一样，结果应该是一样的，但用上面的程序跑出来的结果却是不一样的。

再具体地分析一下。假设有三位大臣，他们的a[i]和b[i]分别是：

7 3

1 1

1 6

显然，这样可以是排完序后的结果，因为两两之间用条件判断都是等于。这样算出来答案是17。而如果这样排：

1 1

1 6

7 3

答案是12，显然这样更优，但程序却有可能排成17的那种情况。

为什么错了呢？简单来说，就是此时的判断条件不满足传递性。引用一个名词——严格弱序。sort的判断函数必须满足严格弱序。

严格弱序是什么？

拿内置类型来说，C++都定义了 “<”操作符，这就是一个严格弱序，而“<=”就不是一个严格弱序

对于内置类型我们自然可以有<、>、=来判断两个值的大小关系，而对于自定义的类型，只用一个严格弱序（这里就用<为例）就可以表示两个元素三种大小关系

a小于b

a < b

b小于a

b < a

a等于b

!(a < b) && !( b < a )

严格弱序的三点要求：

1.两个关键字不能同时“严格弱序”于对方

2.如果a“严格弱序”于b，且b“严格弱序”于c，则a必须“严格弱序”于c（传递性）

3.如果存在两个关键字，任何一个都不“严格弱序”于另一个，则这两个关键字是相等的。

摘自WikiPedia的定义：

A strict weak ordering is a binary relation < on a set S that is a strict partial order (a transitive relation that is irreflexive, or equivalently,^[5] that is asymmetric) in which the relation "neither a < b nor b < a" is transitive.^[1] Therefore, a strict weak ordering has the following properties:

• For all x in S, it is not the case that x < x (irreflexivity).
• For all x, y in S, if x < y then it is not the case that y < x (asymmetry).
• For all x, y, z in S, if x < y and y < z then x < z (transitivity).
• For all x, y, z in S, if x is incomparable with y (neither x < y nor y < x hold), and y is incomparable with z, then x is incomparable with z (transitivity of incomparability).

This list of properties is somewhat redundant, as asymmetry follows readily from irreflexivity and transitivity.

非严格弱序带来的问题：

有序关联容器不允许存在相同的关键字，在判断时，会认为相同的关键字是不相等的，因此会将两个相同的关键字插入容器中，这个行为是未定义的。

注：以上部分严格弱序的叙述摘自 C++ 严格弱序  River_Lethe

 

Part 3

那么，如果必须使用严格弱序，应该如何判断 min( a_j,b_i ) < min( a_i,b_j ) 呢？

我们分情况讨论：

1.当a_i < b_i，a_j? < b_j?时，a_i? ≤ a_j?，应该按a升序排序（ai?和aj?相等时无所谓）。

2.当a_i? = b_i?，a_j? = b_j?时，爱怎么排怎么排。

3.当a_i? > b_i?，a_j? > b_j?时，b_i? ≥ b_j?，应该按b降序排序。

//判断a[i].x 与 b[i].x 的大小关系
if (a[i].x>a[i].y) a[i].d=1;
else if (a[i].x<a[i].y) a[i].d=-1;
else a[i].d=0;

于是cmp将是这样的：

bool operator <(node a) const

    if (d!=a.d) return d<a.d;
    if (d<=0) return x<a.x;
    return y>a.y;