SGU495 Kids andPrices

Posted 2022-05-02 morning-glory

也许更好的阅读体验
\(\mathcalDescription\)
有\(n\)个格子，每次等概率随机给一个格子染色，问涂\(m\)次后期望有多少格子被染色了

\(\mathcalSolution\)
设\(f[i]\)表示涂\(i\)次后期望有多少格子被染色了
现在进行第\(i\)次染色，仍然有两种情况

1. 有\(\fracf[i-1]n\)的概率涂到已经涂过的格子
2. 有\(\fracn-f[i-1]n\)的概率涂到没涂过的格子

需要注意的是，无论是以上哪种，都已经有\(f[i-1]\)个格子被染色了
所以有
\(f[i]=\fracf[i-1]n·0+\fracn-f[i-1]n·1+f[i-1]\)
将其化简
\(f[i]=\fracn-f[i-1]n+f[i-1]=\fracn-1nf[i-1]+1\)
此时该式就是一个等差数列套等比数列
求其通项公式得\(f_m=(\fracn-1n)^m+m\)

初值\(f[0]=0\)答案为\(f[m]\)
应正向循环

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