皇宫看守

Posted 2022-05-01 duojiaming

 

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Description：

太平王世子事件后，陆小凤成了皇上特聘的御前一品侍卫。 
皇宫以午门为起点，直到后宫嫔妃们的寝宫，呈一棵树的形状；某些宫殿间可以互相望见。大内保卫森严，三步一岗，五步一哨，每个宫殿都要有人全天候看守，在不同的宫殿安排看守所需的费用不同。 
可是陆小凤手上的经费不足，无论如何也没法在每个宫殿都安置留守侍卫。 

Input：

帮助陆小凤布置侍卫，在看守全部宫殿的前提下，使得花费的经费最少。

Output：

输入文件中数据表示一棵树，描述如下： 
第1行 n，表示树中结点的数目。 
第2行至第n+1行，每行描述每个宫殿结点信息，依次为：该宫殿结点标号i（0<i<=n），在该宫殿安置侍卫所需的经费k，该边的儿子数m，接下来m个数，分别是这个节点的m个儿子的标号r1，r2，...，rm。
对于一个n（0 < n<=1500）个结点的树，结点标号在1到n之间，且标号不重复。 

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这道题中的数据是一棵树，很容易想到树形DP。//树的最小带权覆盖集

乍一看此题和战略游戏十分接近（所以我一开始就按战略游戏的代码写），但是往深处想他们之间还是有不同的。这道题要求最小花费，而战略游戏求解最少安放士兵的数目，所以在转移上有一点（很大)不同。

solution:

此题没有明确的说明根节点，所以在读入时要做一下处理，找到没有子结点的点当成根结点，方便进行树上递归。

转移：

前面也说过，树上的DP转移一般有两个方向：从根到叶和从叶到根。此题满足从叶到根。

对于每一个结点，只要在其本身或者父结点或者子结点有侍卫时，就一定可以被观察到，所以转移的状态可以简单的分为这三种。（son[x]表示x的子结点）

　　f[x][0]表示x没有侍卫，但x的父结点有侍卫；

　　f[x][1]表示x没有侍卫，但x的子结点有侍卫；

　　f[x][2]表示x本身有侍卫。

对于f[x][0]的情况：

　　此时x结点已经被观察到，因为想要保证花费最小，所以此时x结点不必要安放侍卫即可。

　　那么对于x的所有子结点只有两种情况：自己有侍卫或者可以被后代有侍卫。

　　状态转移方程是f[x][0]+=min(f[son[x]][2],f[son][x]][1])+d

　　（先不要纠结d是什么意思，等下我会解释） 

对于f[x][1]的情况：

　　此时x结点已经被观察到，所以x结点不必安放侍卫。

　　只用找出x的所有子结点中花费最小的即可。

　　同样的，子结点也只有上述的两种情况。

　　状态转移方程是f[x][1]+=min(f[son[x]][2],f[son[x]][1])+d

　　这个充满神秘感的d又一次出现了，现在我要揭开它神秘的面纱：

　　d=min(d,f[son[x]][2]-min(f[son[x]][2],f[son[x]][1]))

　　因为刚才所说的都是对结点x进行决策的，对于f[x][0]和f[x][1]，如果最优解是从f[son][x]][1]转移来的，那么必然也要加上它的花费。

　　所以d的作用就是判断是否是从f[son][x]][1]转移来，如果是就加上它的花费。（具体使用参考以下程序）

对于f[x][2]的情况：

　　此时x结点已经有侍卫了，x的儿子可以有侍卫，也可以被其子结点看守，还可以被其父结点看守。

　　所以状态转移方程是min(f[son[x]][0],f[son[x]][1],f[son[x]][2])+w[x]

　　(w[x]表示在x结点安放侍卫的花费）

具体转移就是这样，下面放代码咯：）

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<int> s[1505];
int w[1505];
int f[1505][3];
bool v[1505];
void dp(int u)
//    f[u][2]//self
//    f[u][1]//son
//    f[u][0]//fa
    int y;
    int d=0x7fffffff/2;
    int sz=s[u].size();
    for(int i=0;i<sz;i++)
        dp(s[u][i]);
        f[u][0]+=min(f[s[u][i]][2],f[s[u][i]][1]);
        f[u][1]+=min(f[s[u][i]][2],f[s[u][i]][1]);
        d=min(d,f[s[u][i]][2]-min(f[s[u][i]][2],f[s[u][i]][1]));
        f[u][2]+=min(f[s[u][i]][2],min(f[s[u][i]][1],f[s[u][i]][0]));
    
    f[u][1]+=d;
    f[u][2]+=w[u];

int main()
    int n;
    cin>>n;
    int num,k,r,m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>num>>k>>m;
        w[num]=k;
        for(int j=1;j<=m;j++)
            cin>>r;
            v[r]=1;
            s[num].push_back(r);
        
    
    int root;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(v[i]==0)
            root=i;
            break;
        
    
    dp(root);
    cout<<min(f[root][1],f[root][2]);
    return 0;
 

皇宫看守

 

 代码中我用的是vector来实现链表，当然也可以用结构体来实现。

就这么多啦：）欢迎指正！！