绝对值方程不等式

Posted 2022-04-30 guoshaoyang

1. 概述
   1. 绝对值问题在中考中不超纲，并且解题过程繁杂，可以作为排位较后的题目考
   2. 解决这类问题的核心思想就是去绝对值，取绝对值的方法有
      1. 分类讨论
         1. 解决简单的问题可以用分类讨论，面对复杂问题时要分很多层，过程可能会很繁杂（怕死就多分类）；但有时候在多层分类中能够获得特殊的条件，不用考虑某些情况
         2. 在解方程或不等式时，这种方法往往表述较为简单
      2. 函数思想
         1. 方程、不等式都可以转换为函数的关系，可以将绝对值的意义变为按照x轴或x=a翻折
         2. 这种方法比较适合 式子的一边已知并且含绝对值，另一边含参但结构简单 的问题
      3. 几何意义
         1. 当绝对值内主元的元素相同时：2个绝对值可以转化为1维距离，2个绝对值里含平方差可以转化为2维距离
   3. 注意：分类讨论之后一定要写“综上”，把解写出来

2. 绝对值方程

   1. 一次方程

      1. 多个单层绝对值（零点分段法步骤）
         1. 找绝对值零点
            1. 写出使各个绝对值代数式为0的x值
         2. 零点分段讨论
            1. 将数轴分段，讨论
         3. 分段求解方程
            1. 在每一种分类讨论中解方程，再分别检验
         4. 例
            
            
      2. 单个多层绝对值
         1. 由内而外去绝对值符号
            1. 按照零点分段法一层层去绝对值，再检验
            2. 例
               
         2. 由外而内去绝对值符号
            1. 将单个绝对值放左边，将其他部分放另一边，右边的部分可以取正负
            2. 例
               
               
      3. 函数法
         1. 对于含参的方程，分类讨论比较困难，故可以将已知部分用函数表示，将问题转化为求交点
            
         2. 对于多个绝对值，要先写出分段函数，再画出函数
            

             

   2. 二次方程

      1. 与一次方程同理，分别找零点，可以先因式分解
         

3. 绝对值不等式

   1. 基本性质

      1. $|a|\\geq|b|\\Leftrightarrow a\\geq|b|$或$a\\leq-|b|\\Leftrightarrow-|a|\\leq b \\leq |a| $

      2.  

         $|a|-|b|\\leq|a\\pm b|\\leq|a|+|b|$

   2. 直接平方法
      1. 绝对值的部分平方后可以忽略绝对值。例如
         
   3. 分式法
      1. 对于$|a_1x^2+b_1x+c|=|a_2x+b_2|$，只要使$|a_2x+b_2|$不为零，就可以转化为$\\displaystyle \\frac|a_1x^2+b_1x+c||a_2x+b_2|$，因式分解后可以化简
   4. 零点分段法
      1. 分类讨论
         
         
         

         

   5. 含参不等式
      1. 求条件不等式范围：分段考虑
         
      2. 几何意义