树链剖分

Posted 2022-04-30 lianq

树链剖分

前言：虽然noip基本不考，但我觉得还是多少学一点吧

---

问题模型

对于树上的某条路径，进行一系列操作（类似线段树上的操作）

---

实现原理

恰如其名，将树剖分成一段又一段的区间（树链），便于我们进行线段树的操作（树上的线段树操作）。将树分为重链和轻链，重链的dfs序（与其他dfs序不同，树剖的dfs序会优先落在重链上）多为一段连续的区间。因此当解决两点间路径上的查询和修改问题时，可以用类似于LCA（其实区别较大，LCA是通过倍增来跳，而树剖是通过重链来跳）的方法，将两点之间的路径剖分成多条首尾相连的树链，每条树链上的点所在区间是连续的，进而进行线段树的操作。

---

例题

[Noi2015]软件包管理器

解析：虽然是NOI的题，但却是一道Day1 T2的除了题意比较冗长外的极水的树链剖分裸题。安装软件包就是将根节点到x节点的路径上所有值变为1，卸载软件包就是将x节点和它所有子树节点的值变为0，而x和它的子树节点在树链剖分中恰好是一段连续的区间[seg[x],seg[x]+size[x]-1]，然后直接树链剖分做就可以了。