差分约束系统

Posted 2022-04-30 lianq

差分约束系统

前言:在清北学堂模拟赛的差分约束题写炸了，感觉有必要来总结一下差分约束

问题模型

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求解由若干不等式限制的一组最大或最小未知数解

思想

当我们求解形如X1-X2<=d的问题时，我们会发现将式子变化为X1<=X2+d和最短路问题里的三角不等式dis[u]<=dis[v]+w极为相似，故我们可以将不等式组的最值求解问题转化为求解最短路的问题。
我们求解Xn-X1的最值问题其实等价于以 节点1 为源点，跑单源最短路的问题。因为三角不等式的松弛操作是尽量将式子"取等"，故当跑最短路时，未知数的值尽可能的大，进而逼近，满足不等式；跑最长路时，未知数的值尽可能的小，进而逼近，满足不等式。故最短路可用于求解Xn-X1的最大值，而最长路可用于求解Xn-X1的最小值。

例题

differ(清北学堂)

这是一道差分约束基础练习题。
给出 m 个约束条件，每个约束条件属于
???? ? ???? ≤ ??, ???? ? ???? ≥ ??, ???? ? ???? = ??
三种形式之一。
给出 Q 个询问，每个询问都为：求???? ? ????的最大值
(变量数)n<=200 m<=10000 Q<=100000

解析：观察数据范围，发现n<=200,故可用Floyd算法求解
? xi-xj=w 可以转化为正反向分别连一条权值的绝对值为w的有向边
? 但需注意判重边和dis[i][j]为负数的情况（说多了都是泪）

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[SCOI2011] 糖果

解析： 差分约束裸题。需要从超级源点向每个点连一条长度为1的有向边，因为每个小朋友都至少分到一个糖果

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小k的农场

解析：这道题只需判断是否有解（是否存在负环），故建立超级源点以保证连通性。

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排队布局

解析：这道题需要跑两遍spfa，第一遍从超级源点跑，判断是否有解（是否存在负环），第二遍从节点1开始跑一遍单源最短路，如果能够更新到n，则dis[n]即为所求，否则若dis[n]为Inf（未被更新到），则1号奶牛和N号奶牛之间的距离可以无穷大。

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Intervals

解析：这道题与之前有所不同的是，我们的dis[n]记录的是前n个数至少有dis[n]个整数被选出，这道题还有两个隐藏条件是0<=dis[i]-dis[i-1]<=1,剩下的就是裸的差分约束了。