[ZJOI2009]取石子游戏

Posted 2022-04-30 judge

瞪了题解两三天，直接下转第二篇题解就康懂了

首先我们令 ：

\(L[i][j]\) 表示当前 \([i,j]\) 区间左侧放置 \(L[i,j]\) 数量的石子后先手必败

\(R[i][j]\) 表示当前 \([i,j]\) 区间右侧放置 \(R[i,j]\) 数量的石子后先手必败

那么最后我们只要判断 \(a[1]\) 是否等于 \(L[2,n]\) 或者 \(a[n]\) 是否等于 \(R[1,n-1]\) 即可

唯一性

考虑证明 \(L[i][j]\) 和 \(R[i][j]\) 的唯一性，发现我们只需要证明一个成立即可

假设 \(L[i][j]\) 存在两个，那么我们先让 \([i,j]\) 左边放上大的 \(L[i][j]\) ，那么它可以一步转移到另一个小的 \(L[i][j]\) ，仍旧是一个必败态，与定义矛盾，故 \(L[i][j]\) 只存在一个合法值

转移

然后我们分类讨论...

假设当前处理到了 \(L[i][j]\) ，那么我们根据 \(L[i][j-1] ,R[i][j-1] ,a[j]\) 来处理，我们令 \(L=L[i][j-1],R=R[i][j-1],x=a[j]\)

1. \(x=R\)

   这种情况下，我们令 \(L[i][j]=0\) ，因为 [i,j] 已经是个必败态了，左边加上任意石子，先手都可以全部取完，然后后手面对必败态

2. \(x<L,x<R\)

   这种情况下，我们令 \(L[i][j]=x\) ，这样先手不管从哪堆开始取，如果没有取完，后手只需要在另一堆取走相同数量的石子，就回到了原来的情况，那么如果说先手把一堆取完了，另一堆的石子数量必然是小于 L 和 R 的，相当于是先手从数量为 L 或者 R 的堆中取走了一些石子，后手必胜

3. \(L<=x<R\)

   这种情况下，我们令 \(L[i][j]=x+1\) ，这样先手左边取左边取，取到 L 时，后手取光右边即可；左边取到比 L 大的话，右边只要取走相同的石子就好了，这样可以变回同样的状态；取到比 L 小的话，右边取到相同的石子数为止，这样两边的石子数都小于 L 和 R ，这样就回到了状态 2 ；如果先手在右边取，如果取到比 L 大，我们维持状态即可，和上面一样；如果比 L 小，那么我们左边取到和左边相等，这样还是回到了状态 2 ；如果右边被先手取光了，那么我们把左边取到 L ，先手面临的就是必败态了

4. \(R<x<L\)

   这种情况下，我们令 \(L[i][j]=x-1\) 即可，讲道理是和状态 3 差不多的情况 Q^Q

5. \([i,i]\) 的边界情况

   我们只需要让 \(L[i][i]=a[i]\) 即可...因为左边放上 a[i] 就是先手必败的状态，考虑此时无论先手在哪里取，后手只要在另一堆里面取相同石子即可...

感谢

ORZ YYB

Code

//by Judge
#include<bits/stdc++.h>
#define Rg register
#define fp(i,a,b) for(Rg int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define ll long long
using namespace std;
const int M=1003;
typedef int arr[M][M];
#ifndef Judge
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
#endif
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline ll read() ll x=0,f=1; char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0'; return x*f;
 char sr[1<<21];int CC=-1;
inline void Ot()fwrite(sr,1,CC+1,stdout),CC=-1;
int n,a[M]; arr L,R;
int main() int T=read();
    while(T--) n=read();
        fp(i,1,n) L[i][i]=R[i][i]=a[i]=read();
        fp(len,1,n-2) fp(i,2,n-len)
            Rg int j=i+len;
            if(R[i][j-1]==a[j]) L[i][j]=0;
            else if(L[i][j-1]>a[j]&&R[i][j-1]>a[j]) L[i][j]=a[j];
            else if(L[i][j-1]<=a[j]&&R[i][j-1]>a[j]) L[i][j]=a[j]+1;
            else if(L[i][j-1]>a[j]&&R[i][j-1]<a[j]) L[i][j]=a[j]-1;
            else L[i][j]=a[j];
            if(R[i+1][j]==a[i]) R[i][j]=0;
            else if(L[i+1][j]>a[i]&&R[i+1][j]>a[j]) R[i][j]=a[i];
            else if(L[i+1][j]<=a[i]&&R[i+1][j]>a[j]) R[i][j]=a[i]+1;
            else if(L[i+1][j]>a[i]&&R[i+1][j]<a[j]) R[i][j]=a[i]-1;
            else R[i][j]=a[i];
        
        sr[++CC]=48+(a[1]!=L[2][n]),sr[++CC]='\n';
    
    return Ot(),0;