USACO 2016 December Contest Gold T3: Lasers and Mirrors

Posted 2022-04-29 li-dox

题目大意

出于某种原因，农夫约翰的牛总是在举行激光表演。

对于他们的最新展会，奶牛已经购买了一个大功率的激光器 - 这么大，事实上，他们似乎不能轻易地从它交付的位置移动。他们想以某种方式将激光的光发送到FJ物业另一侧的谷仓。激光器和谷仓都可以被认为位于FJ农场的地图上的2D平面中的点上。牛计划指挥激光器，使得它发出水平或竖直（即，与x或y轴平行）的光束。他们会将这个光束从一些镜子反射回去，直接到谷仓。

在农场上有N个栅栏(1≤N≤100,000)，位于不同的二维点（也不同于激光和谷仓），牛可以安装镜子。可以选择不在护栏柱上安装镜子，在这种情况下，激光器将简单地直接通过柱子的顶部而不改变方向。如果母牛确实在栅栏柱上安装了一个镜子，它们会像/或\对齐，使得它将在垂直方向上重定向光束，反之亦然。

请计算牛需要使用的镜子的最小可能数量，以便将激光重新导向谷仓。

 

题目分析

考虑装了镜子后会有什么效果。

若一束光打过来到一个护栏上，沿原方向出去花费为0，改变90°后出去花费为1。

 

所以考虑把一个点拆成四个点。（这里借用洛谷大佬 _Yunluo_的一张图）（点开后为他滴题解）

 

这样，蓝色边权为0，橙色边权为1。

至此，我们完成了“装镜子”，这个操作。

 

然后我们把所有点分别按照横坐标，纵坐标排序，建边。跑一遍最短路就行。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int MAXN=1e5+10;
 4 const int Inf=0x3f3f3f3f;
 5 struct Node
 6     int x,y,id;
 7 p[MAXN+10];
 8 struct Egde
 9     int to,nxt,d;
10 e[MAXN<<4];
11 int cnt,head[MAXN<<3];
12 inline void add_edge(int u,int v,int d)
13     e[++cnt].to=v;e[cnt].d=d;e[cnt].nxt=head[u];head[u]=cnt;
14 
15 inline bool cmp1(Node a,Node b)
16     return a.x==b.x?a.y<b.y:a.x<b.x;
17 
18 inline bool cmp2(Node a,Node b)
19     return a.y==b.y?a.x<b.x:a.y<b.y;
20 
21 
22 int n,S,T,p_cnt;
23 int new_Node[MAXN][4];
24 int dis[MAXN*4+10];
25 bool vis[MAXN*4+10];
26 queue<int> q;
27 inline void SPFA()
28     for(int i=1;i<=MAXN*4;++i)
29         dis[i]=Inf;
30     q.push(S);
31     vis[S]=1;
32     dis[S]=0;
33     while(!q.empty())
34         int x=q.front();
35         q.pop();
36         vis[x]=false;
37         for(int i=head[x],y;i;i=e[i].nxt)
38             y=e[i].to;
39             if(dis[y]>dis[x]+e[i].d)
40                 dis[y]=dis[x]+e[i].d;
41                 if(!vis[y])
42                     q.push(y);
43                     vis[y]=true;
44                 
45             
46         
47     
48 
49 
50 int main()
51     for(int i=1;i<=MAXN;++i) p[i].id=i;
52     scanf("%d%d%d%d%d",&n,&p[1].x,&p[1].y,&p[2].x,&p[2].y);
53     n+=2;
54     for(int i=3;i<=n;++i)
55         scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
56     S=++p_cnt;T=++p_cnt;
57     for(int i=1;i<=n;++i)
58         for(int j=0;j<=3;++j)
59             new_Node[i][j]=++p_cnt;
60     for(int i=1;i<=n;++i)
61         add_edge(new_Node[i][0],new_Node[i][1],0);add_edge(new_Node[i][1],new_Node[i][0],0);
62         add_edge(new_Node[i][2],new_Node[i][3],0);add_edge(new_Node[i][3],new_Node[i][2],0);
63         
64         add_edge(new_Node[i][2],new_Node[i][0],1);add_edge(new_Node[i][0],new_Node[i][2],1);
65         add_edge(new_Node[i][2],new_Node[i][1],1);add_edge(new_Node[i][1],new_Node[i][2],1);
66         
67         add_edge(new_Node[i][3],new_Node[i][0],1);add_edge(new_Node[i][0],new_Node[i][3],1);
68         add_edge(new_Node[i][3],new_Node[i][1],1);add_edge(new_Node[i][1],new_Node[i][3],1);
69     
70     sort(p+1,p+n+1,cmp1);
71     for(int i=2;i<=n;++i)
72         if(p[i].x==p[i-1].x)
73             add_edge(new_Node[p[i-1].id][3],new_Node[p[i].id][2],0);
74             add_edge(new_Node[p[i].id][2],new_Node[p[i-1].id][3],0); 
75         
76     sort(p+1,p+n+1,cmp2);
77     for(int i=2;i<=n;++i)
78         if(p[i].y==p[i-1].y)
79             add_edge(new_Node[p[i-1].id][1],new_Node[p[i].id][0],0);
80             add_edge(new_Node[p[i].id][0],new_Node[p[i-1].id][1],0);
81         
82     for(int i=0;i<=3;++i)
83         add_edge(S,new_Node[1][i],0);
84         add_edge(new_Node[2][i],T,0);
85         
86     //cout<<1<<endl;
87     SPFA();    
88     printf("%d\n",dis[T]>=Inf?-1:dis[T]);
89     return 0;
90