循环矩阵乘

Posted 2022-04-29 milk-feng

仅供个人查看，没有验证其正确性。

循环矩阵快速幂是可以通过一个一维数组来完成的。(我之前一直用二维数组，比较好理解)

比如说一个$5 \\times 5$的循环矩阵，再乘一个$5 \\times 5$的矩阵，

        $\\times$                      $=$           

第一个用数组$a$表示，第二个用数组$b$表示，第三个用数组$c$表示，

那么我们把$a$和$b$相乘得到的$c$仍然是循环矩阵。

把所有情况都列出来：

根据矩阵乘定义：$c[1]=a[1][1]*b[1][1]+a[1][2]*b[2][1]+a[1][3]*b[3][1]+a[1][4]*b[4][1]+a[1][5]*b[5][1]$，

根据上面的图，把它们都编号($"\\times"$前边的是$a$，后边的是$b$)，那么：

$c[1]=1\\times 1+2\\times 5+3\\times 4+4\\times 3+5\\times 2$，

$c[2]=1\\times 2+2\\times 1+3\\times 5+4\\times 4+5\\times 3$

$c[3]=1\\times 3+2\\times 2+3\\times 1+4\\times 5+5\\times 4$

$c[4]=1\\times 4+2\\times 3+3\\times 2+4\\times 1+5\\times 5$

$c[5]=1\\times 5+2\\times 4+3\\times 3+4\\times 2+5\\times 1$

这样就发现规律了吧，这东西也是循环的，$c[i]=\\sum \\limits_j=1^n a[j]\\times b[(i-j+n)\\% n+1]$。

这样就能开一维数组存了。

丑陋的伪代码：

for(Reg int i=1;i<=n;++i)
    for(Reg int j=1;j<=n;++j)
        c[i]+=a[j]*b[(i-j+n)%n+1];