蓝书《哈希与哈希表》——知识整理

Posted 2022-04-29 inductivesorting-qyf

一、前言：

　　有些数据不经处理是难以利用的。所谓哈希，就是通过哈希函数将这种难以简单利用的数据（比如矩阵、字符串等等）转化为可以用一个变量表示甚至可以作为数组下标的哈希值。有了哈希值，就可以实现时间复杂度近乎为常数的快速查找与匹配，更简单有效地利用一些复杂数据。

二、字符串哈希：

　　即对象为字符串的哈希。常将字符串看做一个不严格的b进制的数（有时数位上的数有可能要比b还要大），转换为10机制后再模一个数p（以便存储）得到哈希值。即定义哈希函数:

　　　　H(C)=(c1*b^(m-1) + c2*b^(m-2) + . . . + c0*b^0）% p

　　　　　　（c为字符串，m为字符串长度）

　　当两字符串的哈希值相同时，我们就认为这两个字符串是一模一样的。显然这样的判断有时会有“冲突”，即相同哈希值的两个字符串可能会不同。而冲突的概率显然与p和b有关。一般来说，p的因数越多，冲突概率越大（故p一般选大素数）。

　　做子串匹配时，我们要知道所有子串的哈希值。难道要用O（n^2）的复杂度全部处理出来吗？这里有一个叫做滚动哈希的优化技巧，实质是用了前缀和与递推的思想，同时我们可以用unsigned int 型，用自然溢出时对2^32取模来代替手写取模：

　　　　设H(C,k)为字符串c前 k 个字符构成的字符串的哈希值，发现H(C,k+1)= H(C,k) * b+c[k+1]);

　　　　主串上某一子串c[k]c[k+1]...c[k+len]的哈希值即=H(C,k+len) - H(C，k-1) * b^n; 

　　这样只要预处理出b的次幂再用O(n)的时间处理出H(C,1)...H(C,m），主串所有子串的哈希值也就知道了。

　　平时常应用与各种字符串匹配问题。为了进一步降低冲突概率，还可以再另处理一组哈希值，称为“双哈希”，此时取模的素数常用1e9+7和1e9+9，这两个孪生素数可以将随机数据的冲突概率降到1/(1000000009*1000000007）（当然还是防不了毒瘤出题人故意出一个卡哈希的数据，OIer与出题人的斗智斗勇永不停息......）

三、哈希表：

　　运用哈希可以将大的数据转化为较小的哈希值，同时发现如果哈希函数选取合适，那么相同哈希值的不同元素会非常少。由此提醒我们可以搞一个可以快速查询元素的结构——哈希表：

　　在一个相同哈希值的域下记录相应数据。在一个哈希表中查询数据x时，算出x的哈希值h=H(x),将h域下所有的元素与x进行比较（不会很多），得出结果。

　　通常用邻接链表实现哈希表，代码这里不写出了，蓝书70页写的很详细。代码中H变量没提到值，应该等于b，注意一下插入数据时先判个重。

　　最后有一个小技巧：如果真实数据过大，域下记录的数据可以是模另一个素数的余数，达到“双哈希”的效果。