二分图匹配

Posted 2022-04-28 mogeko

Luogu P3386 【模板】二分图匹配

二分图：设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。

二分图匹配：给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集E中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。

可以用匈牙利算法（Hungary Algorithm）解决

几个概念：

• 交替路（也叫交错路）：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边……形成的路径叫交替路。
• 增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，以另一个未匹配点为结尾（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（Agumenting Path）。
• 增广路定理：任意一个非最大匹配的匹配一定存在增广路。

匈牙利算法的流程就是不断递归找增广路。设二分图的两个点集为A,B

对于A中的每个点，枚举从这个点连向B的所有边。

对于x1->y1，若y1当前没有匹配，或y1已经匹配了x2，但x2可以递归匹配另一个y2（ !cp[i] || find(cp[i]) ），则匹配成功，否则失败。

 

bool find(int x) 
    for(int i = 1; i <= m; i++)
        if(to[x][i] && !vis[i]) 
            vis[i] = 1;
            if(!cp[i] || find(cp[i])) 
                cp[i] = x;
                return 1;
            
        
    return 0;

 

注意这里的vis[]，如果没有可能会出现死循环的情况。每次匹配需要把vis[]清零。

完整代码如下

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MogeKo qwq
using namespace std;
const int maxn = 1005;
bool to[maxn][maxn],vis[maxn];
int n,m,e,u,v,ans,cp[maxn];

bool find(int x) 
    for(int i = 1; i <= m; i++)
        if(to[x][i] && !vis[i]) 
            vis[i] = 1;
            if(!cp[i] || find(cp[i])) 
                cp[i] = x;
                return 1;
            
        
    return 0;


int main() 
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&e);
    for(int i = 1; i <= e; i++) 
        scanf("%d%d",&u,&v);
        if(u>n || v>m)continue;
        to[u][v] = true;
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        if(find(i))ans++;
    
    printf("%d",ans);
    return 0;

View Code