题解青蛙的约会

Posted 2022-04-26 h-lka

算是笔者的数学第一题吧……

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解：

显然我们已知的条件有：青蛙A和青蛙B的初始坐标，跳动速度以及纬线长度。想要相遇，显然要使得跳动长度是L的整数倍。

那么，我们设它们跳了T步，则有：

X+mT-(Y+nT)=LP,P为正整数。

移项整理，得：

X+mT-Y-nT=LP

X-Y+(m-n)T=LP

X-Y+(m-n)T-LP=0

提出负号得：

(n-m)T+LP=X-Y

显然套用不定方程基本形式：

Ax+By=C,有解当且仅当GCD(A,B)|C.

我们可以套用Exgcd求解，求出一组解，通过这组解求出最小解。

设求出的一组解为W,则

一组特殊解为：J=W*(X-Y)/d,　　d=GCD(m-n,L).

通解为：J=W*(X-Y)/d+k(L/d).

最小解为：Ans=(J%(L/d)+(L/d))%(L/d),　　J=W*(X-Y)/d.

问题得解。我们求特殊解即可。注意判定无解情况：

1.同余定理得：当X-Y%GCD(m-n,L)不等于0时，无解；

2.当m=n时，显然它们没有速度差，追击问题不成立。

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL n,m,l,x,y;
inline void swap(LL &a,LL &b)a^=b^=a^=b;
inline void Exgcd(LL a,LL b,LL&d,LL &x,LL &y)
    if(!b)d=a;x=1;y=0;
    else
        Exgcd(b,a%b,d,x,y);
        LL t=x;x=y;y=t-(a/b)*y;
    

int main()
    LL a,b,d;
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);
    if(n<m)swap(n,m),swap(x,y);
    Exgcd(n-m,l,d,a,b);
    if(n==m||(x-y)%d!=0)printf("Impossible\n");
    else printf("%lld\n",(a*(x-y)/d%(l/d)+(l/d))%(l/d));
    return 0;