UVA11427 Expect the Expected

Posted 2022-04-26 spzeno

每天晚上你都玩纸牌游戏，如果第一次就赢了就高高兴兴地去睡觉，如果输了就继续玩。假设每盘游戏你获胜地概率都是p，且各盘游戏的输赢都是独立的。你是一个固执的完美主义者，因此会一直玩到当晚获胜局面的比例严格大于p时才停止，然后高高兴兴地去睡觉。当然，晚上的时间有限，最多只能玩n盘游戏，如果获胜比例一直不超过p的话，你只能垂头丧气地去睡觉，以后再也不玩纸牌了。你的游戏是计算出平均情况下，你会玩多少个晚上的纸牌。

设一局胜率为p，则败率为q=1-p
第一步：求单一一天能达成目标快快乐乐去睡觉的概率，设为P

第二步：求该游戏能玩几天的期望，即无穷级数  $\sum\limits_i=1^\infty i*P^i-1*(1-P)$，可以发现这个无穷级数等于$\frac 1 1-P$

问题是P怎么求，我一直在想P关于n，p的数学表达式，想不出来，看了题解发现这种题是dp

设单一一天目标未达成概率为Q，即Q=1-P，如果目标未达成，他必玩了n局，而且如果设总共胜了x局，那么必须$\frac x n \leqslant p$，所有胜x局的局面都未达成目标，他们的出现概率之和即为Q
设dp[i,j]表示玩了i局胜了j局的‘目标未达成的’局面出现的概率（注：我们要求的是目标未达成的局面出现的概率，而目标未达成的局面的前一个局面一定也是目标未达成的局面），即这里dp的‘局面’全部都是满足$\frac j i \leqslant p$的局面，则转移方程为dp[i,j]=dp[i-1,j]*q+dp[i-1,j-1]*p

最后Q即为dp[n,x]之和，输出1/Q就完事了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;    
int N,a,b,n;
double p,Q;
double dp[100+10][100+10];
int main()
    cin>>N;
    for(int t=1;t<=N;t++)
        scanf("%d/%d%d",&a,&b,&n);
        p=(double)a/(double)b;
        for(int i=0;i<=n;i++)
            for(int j=0;j<=n;j++)
                dp[i][j]=0;  
        dp[1][0]=1.0-p;   //边界 
        //求当晚失败概率Q 
        //dp[i,j]  局面i局中赢了j局‘出现‘的概率 注意：j/i<=p
        //dp[i,j]=dp[i-1,j]*q+dp[i-1,j-1]*p  注意：j/i<=p要一直成立
        //边界 dp[1,0] 
        Q=0;
        for(int i=2;i<=n;i++)
            for(int j=0;(double)j<=p*(double)i;j++)
                dp[i][j]+=(p*dp[i-1][j-1]+(1.0-p)*dp[i-1][j]);
            
        
        for(int i=0;(double)i<=p*(double)n;i++)
            Q+=dp[n][i];
        
        int ans=1.0/Q;
        printf("Case #%d: %d\n",t,ans);
    
    return 0;

 那么这个P到底有没有数学表达式呢？？