最小二乘法小结

Posted 2022-04-25 nickchen121

　　　　最小二乘法是用来做函数拟合或者求函数极值的方法。在机器学习，尤其是回归模型中，经常可以看到最小二乘法的身影，这里就对我对最小二乘法的认知做一个小结。

一、1.最小二乘法的原理与要解决的问题　

　　　　最小二乘法是由勒让德在19世纪发现的，原理的一般形式很简单，当然发现的过程是非常艰难的。形式如下式：
\[ 目标函数 =?\sum\limits（观测值-理论值）^2 \]

　　　　观测值就是我们的多组样本，理论值就是我们的假设拟合函数。目标函数也就是在机器学习中常说的损失函数，我们的目标是得到使目标函数最小化时候的拟合函数的模型。举一个最简单的线性回归的简单例子，比如我们有m个只有一个特征的样本：

　　　　((x^(1),y^(1)), (x^(2),y^(2),...(x^(m),y^(m)))

　　　　样本采用下面的拟合函数：

　　　　(h_\theta(x) = \theta_0 +?\theta_1 x)

　　　　这样我们的样本有一个特征x，对应的拟合函数有两个参数(\theta_0 和 \theta_1)需要求出。

　　　　我们的目标函数为：

　　　　(J(\theta_0,?\theta_1) = \sum\limits_i=1^m(y^(i) -?h_\theta(x^(i))^2 = \sum\limits_i=1^m(y^(i) - ?\theta_0 -?\theta_1 x^(i))^2?)　

　　　　用最小二乘法做什么呢，使(J(\theta_0,?\theta_1))最小，求出使(J(\theta_0,?\theta_1))最小时的(\theta_0 和 \theta_1)，这样拟合函数就得出了。

　　　　那么，最小二乘法怎么才能使(J(\theta_0,?\theta_1))最小呢？

二、2.最小二乘法的代数法解法

　　　　上面提到要使(J(\theta_0,?\theta_1))最小，方法就是对(\theta_0 和 \theta_1)分别来求偏导数，令偏导数为0，得到一个关于(\theta_0 和 \theta_1)的二元方程组。求解这个二元方程组，就可以得到(\theta_0 和 \theta_1)的值。下面我们具体看看过程。

　　　　(J(\theta_0,?\theta_1)对\theta_0)求导，得到如下方程：

　　　　(\sum\limits_i=1^m(y^(i) - ?\theta_0 -?\theta_1 x^(i)) = 0?) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?①

　　　　(J(\theta_0,?\theta_1)对\theta_1)求导，得到如下方程：

　　　　(\sum\limits_i=1^m(y^(i) - ?\theta_0 -?\theta_1 x^(i))x^(i) = 0?)　　　　　　　　?②

　　　　①和②组成一个二元一次方程组，容易求出(\theta_0 和 \theta_1)的值：

　　　　

　　　　(\theta_0 = \sum\limits_i=1^m\big(x^(i))^2\sum\limits_i=1^my^(i) -?\sum\limits_i=1^mx^(i)\sum\limits_i=1^mx^(i)y^(i) \Bigg/ m\sum\limits_i=1^m\big(x^(i))^2 - \big(\sum\limits_i=1^mx^(i))^2)

?

　　　　(\theta_1 = m\sum\limits_i=1^mx^(i)y^(i) -?\sum\limits_i=1^mx^(i)\sum\limits_i=1^my^(i) \Bigg/ m\sum\limits_i=1^m\big(x^(i))^2 - \big(\sum\limits_i=1^mx^(i))^2)

?

　　　　这个方法很容易推广到多个样本特征的线性拟合。

　　　　拟合函数表示为?(h_\theta(x_1, x_2, ...x_n) = \theta_0 +?\theta_1x_1 + ... +?\theta_nx_n), 其中(\theta_i ) (i = 0,1,2... n)为模型参数，(x_i ) (i = 0,1,2... n)为每个样本的n个特征值。这个表示可以简化，我们增加一个特征(x_0 = 1 ) ，这样拟合函数表示为：

　　　　(h_\theta(x_0, x_1, ...x_n) = \sum\limits_i=0^n\theta_ix_i)。

　　　　损失函数表示为：

? ? ? ? ? ?(J(\theta_0, \theta_1..., \theta_n) = \sum\limits_j=1^m(h_\theta(x_0^(j)), x_1^(j), ...x_n^(j))) - y^(j)))^2 = \sum\limits_j=1^m(\sum\limits_i=0^n\theta_ix_i^(j)- y^(j))^2?)

　　　　利用损失函数分别对(\theta_i)(i=0,1,...n)求导,并令导数为0可得：

　　　　(\sum\limits_j=0^m(\sum\limits_i=0^n(\theta_ix_i^(j) - y^(j))x_i^(j)) = 0 ??(i=0,1,...n)

　　　　这样我们得到一个N+1元一次方程组，这个方程组有N+1个方程，求解这个方程，就可以得到所有的N+1个未知的(\theta)。

　　　　

　　　　这个方法很容易推广到多个样本特征的非线性拟合。原理和上面的一样，都是用损失函数对各个参数求导取0，然后求解方程组得到参数值。这里就不累述了。

?

三、3.最小二乘法的矩阵法解法

　　　　矩阵法比代数法要简洁，且矩阵运算可以取代循环，所以现在很多书和机器学习库都是用的矩阵法来做最小二乘法。

　　　　这里用上面的多元线性回归例子来描述矩阵法解法。

　　　　

　　　　假设函数(h_\theta(x_1, x_2, ...x_n) = \theta_0 +?\theta_1x_1 + ... +?\theta_n-1x_n-1)的矩阵表达方式为：

　　　　　(h_\mathbf\theta(\mathbfx) =?\mathbfX\theta)?

　　　　其中， 假设函数(h_\mathbf\theta(\mathbfX))为mx1的向量,(\mathbf\theta)为nx1的向量，里面有n个代数法的模型参数。(\mathbfX)为mxn维的矩阵。m代表样本的个数，n代表样本的特征数。

　　　　损失函数定义为(J(\mathbf\theta) = \frac12(\mathbfX\theta -?\mathbfY)^T(\mathbfX\theta -?\mathbfY))

　　　　其中(\mathbfY)是样本的输出向量，维度为mx1. (\frac12)在这主要是为了求导后系数为1，方便计算。

　　　　根据最小二乘法的原理，我们要对这个损失函数对(\mathbf\theta)向量求导取0。结果如下式：

　　　　(\frac\partial\partial\mathbf\thetaJ(\mathbf\theta) = \mathbfX^T(\mathbfX\theta -?\mathbfY) = 0 )

　　　　这里面用到了矩阵求导链式法则，和两个个矩阵求导的公式。

　　　　　　公式1：(\frac\partial\partial\mathbfx(\mathbfx^Tx) =2\mathbfx;;x为向量)

　　　　　　公式2：(\nabla_Xf(AX+B) = A^T\nabla_Yf,;; Y=AX+B,;;f(Y)为标量)

　　　　对上述求导等式整理后可得：

　　　　(?\mathbfX^TX\theta =?\mathbfX^TY )

　　　　两边同时左乘((\mathbfX^TX)^-1)可得：

　　　　(?\mathbf\theta = (\mathbfX^TX)^-1\mathbfX^TY )

　　　　这样我们就一下子求出了(\theta)向量表达式的公式，免去了代数法一个个去求导的麻烦。只要给了数据,我们就可以用(?\mathbf\theta = (\mathbfX^TX)^-1\mathbfX^TY )算出(\theta)。

?

四、4.最小二乘法的局限性和适用场景　　

　　　　从上面可以看出，最小二乘法适用简洁高效，比梯度下降这样的迭代法似乎方便很多。但是这里我们就聊聊最小二乘法的局限性。

　　　　首先，最小二乘法需要计算(\mathbfX^TX)的逆矩阵，有可能它的逆矩阵不存在，这样就没有办法直接用最小二乘法了，此时梯度下降法仍然可以使用。当然，我们可以通过对样本数据进行整理，去掉冗余特征。让(\mathbfX^TX)的行列式不为0，然后继续使用最小二乘法。

　　　　第二，当样本特征n非常的大的时候，计算(\mathbfX^TX)的逆矩阵是一个非常耗时的工作（nxn的矩阵求逆），甚至不可行。此时以梯度下降为代表的迭代法仍然可以使用。那这个n到底多大就不适合最小二乘法呢？如果你没有很多的分布式大数据计算资源，建议超过10000个特征就用迭代法吧。或者通过主成分分析降低特征的维度后再用最小二乘法。

　　　　第三，如果拟合函数不是线性的，这时无法使用最小二乘法，需要通过一些技巧转化为线性才能使用，此时梯度下降仍然可以用。

　　　　第四，讲一些特殊情况。当样本量m很少，小于特征数n的时候，这时拟合方程是欠定的，常用的优化方法都无法去拟合数据。当样本量m等于特征数n的时候，用方程组求解就可以了。当m大于n时，拟合方程是超定的，也就是我们常用与最小二乘法的场景了。

?

（欢迎转载，转载请注明出处。欢迎沟通交流： 微信：nickchen121）?