主成分分析（PCA）原理总结

Posted 2022-04-25 nickchen121

　　　　主成分分析（Principal components analysis，以下简称PCA）是最重要的降维方法之一。在数据压缩消除冗余和数据噪音消除等领域都有广泛的应用。一般我们提到降维最容易想到的算法就是PCA，下面我们就对PCA的原理做一个总结。

一、PCA的思想

　　　　PCA顾名思义，就是找出数据里最主要的方面，用数据里最主要的方面来代替原始数据。具体的，假如我们的数据集是n维的，共有m个数据\((x^(1),x^(2),...,x^(m))\)。我们希望将这m个数据的维度从n维降到n‘维，希望这m个n‘维的数据集尽可能的代表原始数据集。我们知道数据从n维降到n‘维肯定会有损失，但是我们希望损失尽可能的小。那么如何让这n‘维的数据尽可能表示原来的数据呢？

　　　　我们先看看最简单的情况，也就是n=2，n‘=1,也就是将数据从二维降维到一维。数据如下图。我们希望找到某一个维度方向，它可以代表这两个维度的数据。图中列了两个向量方向，\(u_1\)和\(u_2\)，那么哪个向量可以更好的代表原始数据集呢？从直观上也可以看出，\(u_1\)比\(u_2\)好。

　　　　为什么\(u_1\)比\(u_2\)好呢？可以有两种解释，第一种解释是样本点到这个直线的距离足够近，第二种解释是样本点在这个直线上的投影能尽可能的分开。

　　　　假如我们把n‘从1维推广到任意维，则我们的希望降维的标准为：样本点到这个超平面的距离足够近,或者说样本点在这个超平面上的投影能尽可能的分开。

　　　　基于上面的两种标准，我们可以得到PCA的两种等价推导。

二、PCA的推导:基于最小投影距离

　　　　我们首先看第一种解释的推导，即样本点到这个超平面的距离足够近。

　　　　假设m个n维数据\((x^(1), x^(2),...,x^(m))\)都已经进行了中心化，即\(\sum\limits_i=1^mx^(i)=0\)。经过投影变换后得到的新坐标系为\(\w_1,w_2,...,w_n\\),其中\(w\)是标准正交基，即\(|w|_2=1, w_i^Tw_j=0\)。

　　　　如果我们将数据从n维降到n‘维，即丢弃新坐标系中的部分坐标，则新的坐标系为\(\w_1,w_2,...,w_n'\\),样本点\(x^(i)\)在n‘维坐标系中的投影为：\(z^(i) = (z_1^(i), z_2^(i),...,z_n'^(i))^T\).其中，\(z_j^(i) = w_j^Tx^(i)\)是\(x^(i)\)在低维坐标系里第j维的坐标。

　　　　如果我们用\(z^(i)\)来恢复原始数据\(x^(i)\),则得到的恢复数据\(\overlinex^(i) = \sum\limits_j=1^n'z_j^(i)w_j = Wz^(i)\),其中，W为标准正交基组成的矩阵。

　　　　现在我们考虑整个样本集，我们希望所有的样本到这个超平面的距离足够近，即最小化下式：
\[ \sum\limits_i=1^m|\overlinex^(i) - x^(i)|_2^2 \]

　　　　将这个式子进行整理，可以得到:

\[ \beginalign \sum\limits_i=1^m|\overlinex^(i) - x^(i)|_2^2 & = \sum\limits_i=1^m| Wz^(i)?- x^(i)|_2^2 \\& = \sum\limits_i=1^m(Wz^(i))^T(Wz^(i))?- 2\sum\limits_i=1^m(Wz^(i))^Tx^(i) + \sum\limits_i=1^m?x^(i)Tx^(i) \\& = \sum\limits_i=1^mz^(i)Tz^(i) - 2\sum\limits_i=1^mz^(i)TW^Tx^(i) +\sum\limits_i=1^m?x^(i)Tx^(i)?\\& = \sum\limits_i=1^mz^(i)Tz^(i) - 2\sum\limits_i=1^mz^(i)Tz^(i)+\sum\limits_i=1^m?x^(i)Tx^(i)??\\& = - \sum\limits_i=1^mz^(i)Tz^(i) + \sum\limits_i=1^m?x^(i)Tx^(i)??\\& =???-tr( W^T（\sum\limits_i=1^mx^(i)x^(i)T)W)? + \sum\limits_i=1^m?x^(i)Tx^(i)?\\& =? -tr( W^TXX^TW)? + \sum\limits_i=1^m?x^(i)Tx^(i)? \endalign \]

　　　　其中第（1）步用到了\(\overlinex^(i)=Wz^(i)?\),第二步用到了平方和展开，第（3）步用到了矩阵转置公式\((AB)^T =B^TA^T\)和\(W^TW=I\),第（4）步用到了\(z^(i)=W^Tx^(i)\)，第（5）步合并同类项，第（6）步用到了\(z^(i)=W^Tx^(i)\)和矩阵的迹,第7步将代数和表达为矩阵形式。

　　　　注意到\(\sum\limits_i=1^mx^(i)x^(i)T\)是数据集的协方差矩阵，W的每一个向量\(w_j\)是标准正交基。而\(\sum\limits_i=1^m?x^(i)Tx^(i)\)是一个常量。最小化上式等价于：
\[ \underbracearg\;min_W\;-tr( W^TXX^TW)?\;\;s.t. W^TW=I \]

　　　　这个最小化不难，直接观察也可以发现最小值对应的W由协方差矩阵\(XX^T\)最大的n‘个特征值对应的特征向量组成。当然用数学推导也很容易。利用拉格朗日函数可以得到
\[ J(W) = -tr( W^TXX^TW + \lambda(W^TW-I)) \]

　　　　对W求导有\(-XX^TW+\lambda W=0\), 整理下即为：
\[ XX^TW=\lambda W \]

　　　　这样可以更清楚的看出，W为\(XX^T\)的n‘个特征向量组成的矩阵，而\(\lambda\)为\(XX^T\)的若干特征值组成的矩阵，特征值在主对角线上，其余位置为0。当我们将数据集从n维降到n‘维时，需要找到最大的n‘个特征值对应的特征向量。这n‘个特征向量组成的矩阵W即为我们需要的矩阵。对于原始数据集，我们只需要用\(z^(i)=W^Tx^(i)\),就可以把原始数据集降维到最小投影距离的n‘维数据集。

　　　　如果你熟悉谱聚类的优化过程，就会发现和PCA的非常类似，只不过谱聚类是求前k个最小的特征值对应的特征向量，而PCA是求前k个最大的特征值对应的特征向量。　　

三、PCA的推导:基于最大投影方差

　　　　现在我们再来看看基于最大投影方差的推导。

假设m个n维数据\((x^(1), x^(2),...,x^(m))\)都已经进行了中心化，即\(\sum\limits_i=1^mx^(i)=0\)。经过投影变换后得到的新坐标系为\(\w_1,w_2,...,w_n\\),其中\(w\)是标准正交基，即\(|w|_2=1, w_i^Tw_j=0\)。

　　　　如果我们将数据从n维降到n‘维，即丢弃新坐标系中的部分坐标，则新的坐标系为\(\w_1,w_2,...,w_n'\\),样本点\(x^(i)\)在n‘维坐标系中的投影为：\(z^(i) = (z_1^(i), z_2^(i),...,z_n'^(i))^T\).其中，\(z_j^(i) = w_j^Tx^(i)\)是\(x^(i)\)在低维坐标系里第j维的坐标。

　　　　对于任意一个样本\(x^(i)\)，在新的坐标系中的投影为\(W^Tx^(i)\),在新坐标系中的投影方差为\(W^Tx^(i)x^(i)TW\)，要使所有的样本的投影方差和最大，也就是最大化$?\sum\limits_i=1^mW^Tx^(i)x^(i)TW$的迹,即：
\[ \underbracearg\;max_W\;tr( W^TXX^TW)?\;\;s.t. W^TW=I \]

　　　　观察第二节的基于最小投影距离的优化目标，可以发现完全一样，只是一个是加负号的最小化，一个是最大化。

　　　　利用拉格朗日函数可以得到
\[ J(W) = tr( W^TXX^TW + \lambda(W^TW-I)) \]

　　　　对W求导有\(XX^TW+\lambda W=0\), 整理下即为：
\[ XX^TW=（-\lambda）W \]

　　　　和上面一样可以看出，W为\(XX^T\)的n‘个特征向量组成的矩阵，而\(-\lambda\)为\(XX^T\)的若干特征值组成的矩阵，特征值在主对角线上，其余位置为0。当我们将数据集从n维降到n‘维时，需要找到最大的n‘个特征值对应的特征向量。这n‘个特征向量组成的矩阵W即为我们需要的矩阵。对于原始数据集，我们只需要用\(z^(i)=W^Tx^(i)\),就可以把原始数据集降维到最小投影距离的n‘维数据集。

四、PCA算法流程

　　　　从上面两节我们可以看出，求样本\(x^(i)\)的n‘维的主成分其实就是求样本集的协方差矩阵\(XX^T\)的前n‘个特征值对应特征向量矩阵W，然后对于每个样本\(x^(i)\),做如下变换\(z^(i)=W^Tx^(i)\)，即达到降维的PCA目的。

　　　　下面我们看看具体的算法流程。

　　　　输入：n维样本集\(D=(x^(1), x^(2),...,x^(m))\)，要降维到的维数n‘.

　　　　输出：降维后的样本集\(D'\)

　　　　1) 对所有的样本进行中心化： \(x^(i) = x^(i) - \frac1m\sum\limits_j=1^m?x^(j)\)

　　　　2) 计算样本的协方差矩阵\(XX^T\)

　　　　3) 对矩阵\(XX^T\)进行特征值分解

　　　　4）取出最大的n‘个特征值对应的特征向量\((w_1,w_2,...,w_n')\), 将所有的特征向量标准化后，组成特征向量矩阵W。

　　　　5）对样本集中的每一个样本\(x^(i)\),转化为新的样本\(z^(i)=W^Tx^(i)\)

　　　　6) 得到输出样本集\(D' =(z^(1), z^(2),...,z^(m))\)

　　　　有时候，我们不指定降维后的n‘的值，而是换种方式，指定一个降维到的主成分比重阈值t。这个阈值t在（0,1]之间。假如我们的n个特征值为\(\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq ... \geq \lambda_n\),则n‘可以通过下式得到:
\[ \frac\sum\limits_i=1^n'\lambda_i\sum\limits_i=1^n\lambda_i \geq t \]

五、PCA实例

　　　　下面举一个简单的例子，说明PCA的过程。

　　　　假设我们的数据集有10个二维数据(2.5,2.4), (0.5,0.7), (2.2,2.9), (1.9,2.2), (3.1,3.0), (2.3, 2.7), (2, 1.6), (1, 1.1), (1.5, 1.6), (1.1, 0.9)，需要用PCA降到1维特征。

　　　　首先我们对样本中心化，这里样本的均值为(1.81, 1.91),所有的样本减去这个均值后，即中心化后的数据集为(0.69, 0.49), (-1.31, -1.21), (0.39, 0.99), (0.09, 0.29), (1.29, 1.09), (0.49, 0.79), (0.19, -0.31), (-0.81, -0.81), (-0.31, -0.31), (-0.71, -1.01)。

　　　　现在我们开始求样本的协方差矩阵，由于我们是二维的，则协方差矩阵为：

\[ \mathbfXX^T = \left( \beginarrayccc cov(x_1,x_1)?& cov(x_1,x_2)\\?? cov(x_2,x_1) &?cov(x_2,x_2) \endarray \right) \]

　　　　对于我们的数据，求出协方差矩阵为：

\[ \mathbfXX^T = \left( \beginarrayccc 0.616555556?& 0.615444444\\?? 0.615444444 &?0.716555556 \endarray \right) \]

　　　　求出特征值为（0.0490833989， 1.28402771），对应的特征向量分别为：\((0.735178656, 0.677873399)^T\;\; (-0.677873399, -0.735178656)^T\),由于最大的k=1个特征值为1.28402771，对于的k=1个特征向量为\((-0.677873399, -0.735178656)^T\). 则我们的W=\((-0.677873399, -0.735178656)^T\)

　　　　我们对所有的数据集进行投影\(z^(i)=W^Tx^(i)\)，得到PCA降维后的10个一维数据集为：(-0.827970186， 1.77758033， -0.992197494， -0.274210416， -1.67580142， -0.912949103， 0.0991094375， 1.14457216, 0.438046137， 1.22382056)

六、核主成分分析KPCA介绍

　　　　在上面的PCA算法中，我们假设存在一个线性的超平面，可以让我们对数据进行投影。但是有些时候，数据不是线性的，不能直接进行PCA降维。这里就需要用到和支持向量机一样的核函数的思想，先把数据集从n维映射到线性可分的高维N>;n,然后再从N维降维到一个低维度n‘, 这里的维度之间满足n‘<;n<;N。

　　　　使用了核函数的主成分分析一般称之为核主成分分析(Kernelized PCA, 以下简称KPCA。假设高维空间的数据是由n维空间的数据通过映射\(\phi\)产生。

　　　　则对于n维空间的特征分解：
\[ ?\sum\limits_i=1^mx^(i)x^(i)TW=\lambda W \]

　　　　映射为：
\[ ?\sum\limits_i=1^m\phi(x^(i))\phi(x^(i))^TW=\lambda W \]

　　　　通过在高维空间进行协方差矩阵的特征值分解，然后用和PCA一样的方法进行降维。一般来说，映射\(\phi\)不用显式的计算，而是在需要计算的时候通过核函数完成。由于KPCA需要核函数的运算，因此它的计算量要比PCA大很多。

七、PCA算法总结

　　　　这里对PCA算法做一个总结。作为一个非监督学习的降维方法，它只需要特征值分解，就可以对数据进行压缩，去噪。因此在实际场景应用很广泛。为了克服PCA的一些缺点，出现了很多PCA的变种，比如第六节的为解决非线性降维的KPCA，还有解决内存限制的增量PCA方法Incremental PCA，以及解决稀疏数据降维的PCA方法Sparse PCA等。

　　　　PCA算法的主要优点有：

　　　　1）仅仅需要以方差衡量信息量，不受数据集以外的因素影响。　

　　　　2）各主成分之间正交，可消除原始数据成分间的相互影响的因素。

　　　　3）计算方法简单，主要运算是特征值分解，易于实现。

　　　　PCA算法的主要缺点有：

　　　　1）主成分各个特征维度的含义具有一定的模糊性，不如原始样本特征的解释性强。

　　　　2）方差小的非主成分也可能含有对样本差异的重要信息，因降维丢弃可能对后续数据处理有影响。

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祝大家新年快乐！

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