2019暑假集训 Intervals

Posted 2022-04-25 qxds

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题目描述

给定n个闭区间[ai,bi]和n个整数ci。你需要构造一个整数集合Z，使得对于任意i，Z中满足ai<=x<=bi的x不少于ci个。求Z集合中包含的元素个数的最小值。 

输入

第一行为一个整数n（1<=n<=50000) 
接下来n行每行描述一个区间，三个整数分别表示ai，bi和ci。（ 0 <= ai <= bi <= 50000 并且 1 <= ci <= bi - ai+1.） 

输出

输出一个整数，表示Z中包含元素个数的最小值。

样例输入

5
3 7 3
8 10 3
6 8 1
1 3 1
10 11 1

样例输出

6

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由题意我们可以知道
b[i]-a[i]+1>=c[i]
两边同时除以-1,
a[i]-1-b[i]<=-c[i]
a[i]<=(b[i]+1)+(-c[i]）
这个式子很熟悉有没有？
如果没有，看这个
d[i]<=d[j]+edge(j,i)
记得这个吗？对于一个无法松弛的单源最短路图，必满足上述关系

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所以我们在最短路中把（j,i）连边 在本题中将（b[i]+1,a[i]）连边 该过程称为差分约束
用d[i]表示从0-i区间中需要选的数
但是应当注意的是 明显d[0]不一定=0 所以我们需要一个虚拟点作为原点
怎样找这个虚拟点？因为前面有一个(b[i]+1)，当b[i]=max(b[i])时该值最大 所以最短路应当以max(b[i])为原点进行
由题意，在i至i+1区间中，最多选1个数，最少选0个数
于是得到0<=d[i+1]-d[i]<=1 所以同理我们将(i,i-1,0,)以及(i-1,i,1)连边
最后算出d[max(b[i])]即可
上代码

#include<iostream>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,head[50050],num,a[50050],b[50050],c[50050],d[50050],vst[50050];
struct edge

    int u,v,c,nxt;
e[200050];
void add(int u,int v,int c)

    e[++num].u=u,e[num].v=v,e[num].c=c;
    e[num].nxt=head[u],head[u]=num;

void spfa(int x)

    queue<int> q;
    memset(d,127,sizeof d);
    q.push(x);
    d[x]=0;
    vst[x]=1;
    while(!q.empty())
    
        int xx=q.front();
        q.pop();
        vst[xx]=0;
        for(int st=head[xx];st!=-1;st=e[st].nxt)
        
            if(d[e[st].v]>e[st].c+d[xx])
            
                d[e[st].v]=e[st].c+d[xx];
                if(!vst[e[st].v])q.push(e[st].v),vst[e[st].v]=1;
            
        
    

int main()

//  freopen("in.txt","r",stdin);
//  freopen("out.txt","w",stdout);
    memset(head,-1,sizeof head);
    scanf("%d",&n);
    int m=-0x3f3f3f3f;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    
        scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&c[i]);
        add(b[i]+1,a[i],-c[i]);
        m=max(m,b[i]+1);
    
    for(int i=1;i<=m;i++)
    
        add(i,i-1,0);
        add(i-1,i,1);
    
//  for(int i=1;i<=m;i++)
//      add(50005,i,0);
//  for(int i=1;i<=num;i++)
//      printf("%d %d\n",e[i].u,e[i].v);
    spfa(m);
    int minn=0x3f3f3f3f;
    //for(int i=1;i<=m;i++)minn=min(minn,d[i]);
    printf("%d",-d[0]/*-minn*/);
    return 0;