TopCoder12584 SemiPerfectPower

Posted 2022-04-24 mle-world

首先我们可以把答案差分,那么我们只需要求出\\(1\\)~\\(x\\)范围内的满足条件的数即可.

题目要求的应该是这个东西的个数:

\\(l \\leq a*b^c \\leq r(1 \\le a < b)?\\)的个数

我们首先对于问题仔细分析一波,发现\\(c>3\\)显然不需要考虑.

1. \\(c>3\\)且\\(c\\)是偶数.

显然\\(a*b^2k=a*(b^k)^2\\),显然如果\\(a<b\\)那么\\(a<b^k(k>1)\\)

1. \\(c>3\\)且\\(c\\)是奇数.

显然\\(a*b^2k+1=(a*b)*(b^k)^2\\),显然如果\\(a<b\\)那么\\(a<b^k-1(k>1)\\)

所以现在我们成功把题目转换成了两种情况:\\(c=2\\)|\\(c=3\\)

单独计算\\(c=2\\)和\\(c=3\\)都十分的简单,但是极其有可能有这样子的情况:

\\(a*x^2=b*y^3\\)

这个时候我们就需要排除这种情况.

不妨先把\\(a*x^2\\)算出来,那么只需要计算满足\\(b*y^3\\)且\\(a \\ge x\\)

\\(a*x^2\\)显然只需要枚举\\(i \\in [1,\\sqrt[3]x]\\)然后就是\\(\\sqrtx/i-i\\),因为要排除掉\\(a \\ge x\\)的情况.

现在问题就在于如何统计\\(b*y^3 \\leq x\\)且\\(a*x^2(a \\ge x)\\)

我们推一波式子:

下面是手写稿,主要是不想写\\(LaTeX\\)了.

/*
  mail: [email protected]
  author: MLEAutoMaton
  This Code is made by MLEAutoMaton
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=430890,N=16820;
class SemiPerfectPower
public:
    vector<int>son[M],sum[N];
    int mu[M],thr_out[M];
    int pfg(long long x)
        int l=0,r=3e8,ret=0;
        while(l<=r)
            int mid=(l+r)>>1;
            if(1ll*mid*mid<=x)ret=mid;l=mid+1;
            else r=mid-1;
        
        return ret;
    
    int lfg(long long x)
        int l=0,r=M,ret=0;
        while(l<=r)
            int mid=(l+r)>>1;
            if(1ll*mid*mid*mid<=x)ret=mid;l=mid+1;
            else r=mid-1;
        
        return ret;
    
    long long solve(long long x)
        long long ans=0;
        for(int i=1;1ll*i*i*i<=x;i++)if(mu[i])ans+=pfg(x/i)-i;
        for(int i=1;1ll*i*i*i*i<=x;i++)
            if(!thr_out[i])
                for(int j=1;j*j*j<=i;j++)
                    int d=__gcd(j*j,i);
                    if(!mu[i/d])continue;
                    int k=j*j/d,l=i/k,r=lfg(x/i)/k;
                    for(int u:son[i/d])ans+=mu[u]*(sum[u][r/u]-sum[u][l/u]);
                
        return ans;                            
    
    long long count(long long l,long long r)
        mu[1]=1;
        for(int i=1;i<M;i++)if(mu[i])for(int j=i<<1;j<M;j+=i)mu[j]-=mu[i];
        for(int i=1;i<M;i++)if(mu[i])for(int j=i;j<M;j+=i)if(mu[j])son[j].push_back(i);
        for(int i=2;i*i*i<M;i++)for(int j=i*i*i;j<M;j+=i*i*i)thr_out[j]=1; 
        for(int i=1;i<N;i++)
            sum[i].resize(M/i+1);
            sum[i][0]=0;
            for(int j=1;j<M/i+1;j++)
                sum[i][j]=sum[i][j-1]+(mu[i*j]!=0);
        
        return solve(r)-solve(l-1);
    
;