每周一道算法题003：翻牌

Posted 2022-04-23

问题：

有100张写着数字1～100的牌，并按顺序排列。最开始所有牌都是背面朝上放置。某人从第2张牌开始，隔1张牌翻牌。然后第2, 4, 6, …,100张牌就会变成正面朝上。接下来，另一个人从第3张牌开始，隔2张牌翻牌（原本背面朝上的，翻转成正面朝上；原本正面朝上的，翻转成背面朝上）。再接下来，又有一个人从第4张牌开始，隔3张牌翻牌。像这样，从第n张牌开始，每隔n－1张牌翻牌，直到没有可翻动的牌为止。

求当所有牌不再变动时，所有背面朝上的牌的数字。

思路：

这道题思路有很多种：

思路1
设i为轮次，从1开始，到99结束。设j为牌的下标。
每一轮都按题意找到对应下标的牌逐个进行翻转。

思路2
设i为轮次，从1开始，到99结束；设j为牌的下标。
每一轮都对符合要求的所有牌进行翻转。

思路3
牌只有在偶数次翻转时才会背面朝上。
而牌翻转的时机是：步长为该牌面的约数时，这一点不太好理解，举例说明。
如：4号牌，初始是背面朝上，
第1轮，从2号牌开始，步长为2，4号牌被翻动，正面朝上；
第2轮，从3号牌开始，步长为3，4号牌不被翻动；
第3轮，从4号牌开始，步长为4，4号牌被翻动，背面朝上；
以后不会再被翻动

可以看到，当步长为2，4时，4号牌都会发生翻动，而2，4都是4的约数。

如：6号牌，初始是背面朝上，
第1轮，从2号牌开始，步长为2，6号牌被翻动，正面朝上；
第2轮，从3号牌开始，步长为3，6号牌被翻动，背面朝上；
第3轮，从4号牌开始，步长为4，6号牌不被翻动；
第4轮，从5号牌开始，步长为5，6号牌不被翻动；
第5轮，从6号牌开始，步长为6，6号牌被翻动，正面朝上；
以后不会再被翻动

可以看到，当步长为2，3，6时，6号牌都会发生翻动，而2，3，6都是6的约数。
如果算上1这个所有自然数的约数，那只要约数的个数是奇数个，最终都会背面朝上。

还可以继续归纳：

比如：
12号牌，约数为1，2，3，4，6，12，共有6个约数，最终是正面朝上；
16号牌，约数为1，2，4，8，16，共用有5个约数，最终是背面朝上；
25号牌，约数为1，5，25，共有3个约数，最终是背面朝上；
注意到，所有背面朝上的牌4，16，25，它们都是平方数。
所以这道题最终就变成了找出1-100中所有的平方数。

解答：

以下按上述三条思路分别给出php和Golang的代码

PHP

// 按顺序进行翻牌，i为牌下标，j为牌下标+步长
function flip1()

    $size = 100;
    $cards = array_fill(0, $size, 0); // 初始化数组

    // i为轮次
    for ($i = 1; $i <= $size; $i++) 
        // 如果当前的牌是正面，就翻过来；反之亦然。
        // 每轮步长增长为i+1，
        // 例如：
        // 第一轮起始下标是1，步长是2(=1+1)，翻1，3，5...下标的牌
        // 第二轮起始下标是2，步长是3(=2+1)，翻2，5，8...下标的牌
        // 以此类推
        for ($j = $i; $j < $size; $j += $i + 1) 
            $cards[$j] = !$cards[$j];
        
    
    output($cards);


// i为轮次,j为牌下标
// 第1轮：2，4，6...100的牌被翻转,对应的下标为1,2,3...99,(j+1)%(1+1)==0
// 第2轮：3, 6, 9...99的牌被翻转，对应的下标为2,5,8...98,(j+1)%(2+1)==0
// 以此类推，得到公式，(j+1)%(i+1)==0时，牌都会翻转
function flip2()

    $size = 100;
    $cards = array_fill(0, $size, 0); // 初始化数组
    for ($i = 1; $i < $size; $i++) 
        for ($j = 1; $j < $size; $j++) 
            if (($j + 1) % ($i + 1) == 0) 
                $cards[$j] = !$cards[$j];
            
        
    
    output($cards);


// 当牌i翻转为偶数次时，即为背面朝上
// 当j为i的约数时，会触发一次i的翻转
// 比如：牌4，会在约数为1，2，4时被翻转
// 但所有的牌都是从约数为2开始翻，所以排除掉约数1的情况
// 此时，4号牌只翻转了2次，符合偶数次翻转的情况，所以其最终是背面朝上
function flip3()

    $size = 100;
    $tmp = array();

    // i为牌面，数字为1-100的100张牌
    for ($i = 1; $i <= $size; $i++) 
        $flag = false;

        // j为步长
        for ($j = 2; $j <= $size; $j++) 
            if ($i % $j == 0) 
                $flag = !$flag;
            
        

        if ($flag == false) 
            $tmp[] = $i;
        
    
    echo implode(‘ ‘, $tmp) . "\n";


function output($cards)

    foreach ($cards as $key => $val) 
        if (!$val) 
            echo $key + 1;
            echo " ";
        
    
    echo "\n";


flip1();
flip2();
flip3();

输出

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

Golang

package main

import "fmt"

var size = 100 // 牌数

func main() 
    Flip1()
    Flip2()
    Flip3()


// 初始化数据
func initCards() []bool 
    var cards []bool // 存放每张牌的状态
    for i := 0; i < size; i++ 
        cards = append(cards, false)
    
    return cards


// 翻牌算法1
func Flip1() 
    cards := initCards()
    for i := 1; i < size; i++ 
        for j := i; j < size; j += i + 1 
            cards[j] = !cards[j]
        
    
    PrintCards(cards)


// 翻牌算法2
func Flip2() 
    cards := initCards()
    for i := 1; i < size; i++ 
        for j := i; j < size; j++ 
            if (j+1)%(i+1) == 0 
                cards[j] = !cards[j]
            
        
    
    PrintCards(cards)


// 翻牌算法3
func Flip3() 
    var cards []int
    for i := 1; i <= size; i++ 
        flag := false
        for j := 2; j <= size; j++ 
            if i%j == 0 
                flag = !flag
            
        
        if flag == false 
            cards = append(cards, i)
        
    
    fmt.Println(cards)


// 输出牌面
func PrintCards(cards []bool) 
    var results []int
    for i := 0; i < size; i++ 
        if cards[i] == false 
            results = append(results, i+1)
        
    
    fmt.Println(results)

输出

[1 4 9 16 25 36 49 64 81 100]
[1 4 9 16 25 36 49 64 81 100]
[1 4 9 16 25 36 49 64 81 100]