最佳牛围栏

Posted 2022-04-23 a1b3c7d9

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了最佳牛围栏相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

最佳牛围栏

给出长度为n数列\\(\\a_i\\\\)，求其中的一段子段的平均数的最大值，并且保证子段长度大于等于f，\\(1≤n≤100000\\)。

解

[警告：此题卡精度]

法一：二分

这是一道有关单调性的问题，不太好二分，可考虑写出二分式，不妨记最优解为\\(\\barx\\)，那么对于最优解有

\\[\\frac\\sum_i=l^ra_ir-l+1=\\barx\\]

经过式子变换有其二分式

\\[\\sum_i=l^r(a_i-\\barx)=0\\]

于是只要判断左式答案与0的关系，就可以确定是否有最优解了，当左式的最大值大于0时，我们就可以知道\\(\\barx\\)可以更加优秀，反之，于是问题变成如何求左式的最大值，不妨构造新数列\\(\\b_i\\\\)，有\\(b_i=a_i-\\barx\\)，现在问题转化为求数列\\(\\b_i\\\\)的最大子段和

我们自然想到原来的贪心模型，从数列左向右确定子段的右端点，当右端点到了某个位置事子段和小于0时，左端点从此处令起。

但是此题有长度限制，注意到原问题也可以看成区间问题，于是枚举右端点r，再枚举左端点l的上一个位置，不妨记\\(\\B_i\\\\)为\\(\\b_i\\\\)前缀和，于是所求最大值即\\(s_r-s_l\\)，注意到在枚举右端点r时，\\(s_r\\)为定值，只要寻找到\\(s_l\\)的最小值即可，每次r向右移，就增加一个决策点，只要用一个变量保存最优解，每次和新进来的决策点比较取大小即可。

参考代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define il inline
#define ri register
#define lb double
#define exact 0.00001
#define intmax 0x7fffffff
using namespace std;
lb b[100001];
int a[100001],n,f;
template<class free>
il free Max(free,free);
il bool check(lb);
int main()
    scanf("%d%d",&n,&f);
    for(int i(1);i<=n;++i)
        scanf("%d",&a[i]);
    lb l(1),r(2000),mid;
    while(l+exact<=r)
        mid=(l+r)/2;
        if(check(mid))l=mid;
        else r=mid;
    printf("%d",(int)(r*1000));
    return 0;

template<class free>
il free Max(free a,free b)
    return a>b?a:b;

il bool check(lb x)
    for(int i(1);i<=n;++i)
        b[i]=a[i]-x,b[i]+=b[i-1];
    int l(0);lb ans(-intmax);
    for(int r(f);r<=n;++r)
        ans=Max(ans,b[r]-b[l]);
        if(b[r-f+1]<b[l])l=r-f+1;
    return ans>=0;

法二：斜率优化

设\\(f_i\\)为前i个数的最优解，显然有

\\[f_i=\\max_0\\leq j<i\\\\fracs_i-s_ji-j\\\\]

注意到这个类似斜率的东西，先考虑单调性，其中\\(j,s_j\\)显然是单调递增的，至于\\(f_i\\)未知，于是问题可以转化成求点\\((i,s_i)\\)与点集\\(\\(j,s_j)\\\\)的一个点所连的一条直线的斜率最大值

对于任意三个点A,B,C考虑，设A，B是决策点，C与i有关，即\\((i,s_i)\\)，按照当初推出凸壳的方法，对于任意三个点考虑，只有下图两种情况

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