relays 奶牛接力跑（矩阵快速幂求最短路径）

Posted 2022-04-21 oi-zzyy

题干：

　　FJ的N(2<=N<=1,000,000)头奶牛选择了接力跑作为她们的日常锻炼项目。至于进行接力跑的地点 自然是在牧场中现有的T(2 <= T <= 100)条跑道上。农场上的跑道有一些交汇点，每条跑道都连结了两个不同的交汇点 I1_i和I2_i(1<=I1_i<=1,000; 1<=I2_i<=1,000)。每个交汇点都是至少两条跑道的端点。 奶牛们知道每条跑道的长度length_i(1<=length_i<=1,000)，以及每条跑道连结的交汇点的编号 并且，没有哪两个交汇点由两条不同的跑道直接相连。你可以认为这些交汇点和跑道构成了一张图。 为了完成一场接力跑，所有N头奶牛在跑步开始之前都要站在某个交汇点上（有些交汇点上可能站着不只1头奶牛）。当然，她们的站位要保证她们能够将接力棒顺次传递，并且最后持棒的奶牛要停在预设的终点。 你的任务是，写一个程序，计算在接力跑的起点(S)和终点(E)确定的情况下，奶牛们跑步路径可能的最小总长度。显然，这条路径必须恰好经过N条跑道。

题解：

　　看到 n 这么大吓了一跳，最后看到 n 其实就是路径长度，基本上这就是矩阵快速幂了。但是节点大小为1～1000，显然难以承受，但是它的边不过 100 条，所以它有用的点最多为 101 个（连通），通过离散化可以实现（或者先建边，dfs一遍标个号即可）。将路径长度作为指数，直接将每个边的长度作为矩阵的值进行矩阵快速幂。

　　为什么要将将每个边的长度直接作为矩阵的值？不用缩点吗？若我们进行缩点，100000 个点一定无法接受。再者，其实若是求必经 n 条路的最短路径长度，我们矩阵的定义就变为了由 x 到 y 节点必须经过 z 条路径的最小值，而每个节点的值就是路径长度，所以不需缩点。

　　但是如果是普通的矩阵快速幂，它求出的只是经过一个点的路径种类数，无法满足我们的预期，我们可以将矩阵乘法由题意改变一下，变为：

sum.a[i][j]=min(sum.a[i][j],aa.a[i][k]+bb.a[k][j]);

　　可以发现，把矩阵乘法的∑改成取 min 一样满足分配律，所以我们是可以将矩阵乘法变为我们所需要的形式。

Code：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #define $ 111
 5 using namespace std;
 6 int m,n,t,start,done,in[$],sta[$*2],out[$],w[$],up;
 7 inline int min(int x,int y)    return x<y?x:y;    
 8 struct tree
 9     int a[$][$];
10     tree()    memset(a,63,sizeof(a));    
11     friend tree operator * (tree aa,tree bb)
12         tree sum=tree();
13         for(register int k=1;k<=m;++k)
14             for(register int i=1;i<=m;++i)
15                 for(register int j=1;j<=m;++j)
16                     sum.a[i][j]=min(sum.a[i][j],aa.a[i][k]+bb.a[k][j]);
17         return sum;
18     
19     friend tree operator ^ (tree aa,int x)
20         tree sum=tree();
21         for(register int i=1;i<=m;++i) sum.a[i][i]=0;
22         for(;x;x>>=1,aa=aa*aa) if(x&1) sum=sum*aa;
23         return sum;
24     
25 ;
26 signed main()
27     tree ans=tree();
28     scanf("%d%d%d%d",&n,&t,&start,&done);
29     for(register int i=1;i<=t;++i)
30         scanf("%d%d%d",&w[i],&in[i],&out[i]),sta[++up]=in[i],sta[++up]=out[i];
31     sta[++up]=start, sta[++up]=done;
32     sort(sta+1,sta+up+1);
33     m=unique(sta+1,sta+up+1)-sta-1;
34     for(register int i=1;i<=t;++i)
35         in[i]=lower_bound(sta+1,sta+m+1,in[i])-sta;
36         out[i]=lower_bound(sta+1,sta+m+1,out[i])-sta;
37         ans.a[in[i]][out[i]]=ans.a[out[i]][in[i]]=w[i];
38     
39     start=lower_bound(sta+1,sta+m+1,start)-sta;
40     done= lower_bound(sta+1,sta+m+1,done)-sta;
41     ans=ans^n;
42     printf("%d\n",ans.a[start][done]);
43 

View Code