多条路径最多点权覆

Posted 2022-04-18 gcfer

见题：

题目简单粗暴，真的很难想。

直接从优解的角度考虑：每条路径都是从一个叶节点到另一个叶节点的，显然这样可以经过最多的点。

考虑那对于所有的叶节点来说，这l条路径，最多覆盖l*2个点（因为每条路径最多覆盖两条叶节点），这是针对于叶节点来说的，那对于其他节点呢？

我们顺着这个思路，从叶节点向上推一层，在叶节点之上的一层，最多也覆盖l*2个点，同理，往上的每一层，对答案的贡献也都是l*2，同时加上该层的点数限制。

一层一层往上推，那不就是拓扑吗？我们可以从叶节点开始跑拓扑，记录其所在层数，最后输出答案。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1010000;
int n,l,link[maxn],tot,ru[maxn],ans,deep[maxn],cnt[maxn],vis[maxn],p;
struct bian

    int y,next;
;
bian a[maxn*2];
inline void add(int x,int y)

    a[++tot].y=y;
    a[tot].next=link[x];
    link[x]=tot;

inline void topsort()

    queue<int>q;
    for(int i=1;i<=n;i++) if(ru[i]==1) q.push(i);vis[i]=1;
    while(!q.empty())
    
        int x=q.front();q.pop();cnt[deep[x]]++;
        for(int i=link[x];i;i=a[i].next)
        
            int y=a[i].y;
            if(vis[y]) continue;
            deep[y]=deep[x]+1;
            p=max(p,deep[y]);
            if(--ru[y]==1) q.push(y);vis[y]=1;
        
    

int main()

    freopen("1.in","r",stdin);
    cin>>n>>l;
    for(int i=1;i<n;i++)
    
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        add(x,y);add(y,x);
        ru[x]++;ru[y]++;
     
    topsort();
    for(int i=0;i<=p;i++) ans+=min(2*l,cnt[i]);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
 

这个题启示我们，O（n）时要大胆猜测结论，同时也要大胆外推，加以验证。

其实本题的思路是直接从最有解的角度出发，考虑最优解一定有用的性质，从这些性质着手反推最优解，这种思路也是找结论时常用的思路。

那本题为什么要用拓扑呢？整体看一下本题的探索思路，我们先考虑了最优路径一定从叶节点到叶节点，之后以叶节点为一层，一步步向外推，这种一层层从已知到未知，不就是拓扑的性质！

这个题启示我们：假使遇到从叶节点出发有规律可循，可以一步一步外推至最优解，这时要合理猜测，不要忘记拓扑的力量！