p3087卢卡斯定理

Posted 2022-04-15 jindui

数论的卢卡斯，据说可以只记结论啦啦啦啦。（反正我也不会~）

实际上也是好几个知识点的集合吧。

1。快速幂

ll pow(ll x,int y,int p)
	ll ans=1;
	x%=p;
	for(int i=y;i;i>>=1,x=x*x%p)	if(i&1)	ans=ans*x%p;
	return ans;

2。组合数求法

ll c(ll x,ll y)
	if(y>x)	return 0;
	return (a[x]*pow(a[y],p-2,p))%p*pow(a[x-y],p-2,p)%p;

a【i】是%p意义下的i的阶乘。（一种鬼算法）

好像还跟逆元有关cm(a,b)=(a！/(a−b)！?)(p−2)mod p

逆元：a[i]=(p-p/i)*a[p%i]（这个之前证过但懒得想了）

3。快读

inline int read()
    int f=1,x=0;char ch;
    doch=getchar();if(ch==‘-‘)f=-1;while(ch<‘0‘||ch>‘9‘);
    dox=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘);
    return f*x;

试着自己打来着，写炸了。

4。卢卡斯定理

Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p)

所以代码是

#include <iostream>
#include <cstdio>
//#define  ll long long
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a[100005];
int p;

ll pow(ll x,int y,int p)
	ll ans=1;
	x%=p;
	for(int i=y;i;i>>=1,x=x*x%p)	if(i&1)	ans=ans*x%p;
	return ans;


ll c(ll x,ll y)
	if(y>x)	return 0;
	return (a[x]*pow(a[y],p-2,p))%p*pow(a[x-y],p-2,p)%p;


ll lucas(ll n,ll m)
	if(!m)	return 1;
	return c(n%p,m%p)*lucas(n/p,m/p)%p;


inline int read()
    int f=1,x=0;char ch;
    doch=getchar();if(ch==‘-‘)f=-1;while(ch<‘0‘||ch>‘9‘);
    dox=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘);
    return f*x;

int main()
	int t=read();
	while(t--)
		int n=read(),m=read();p=read();//p一开始定义在里面了，结果调了半天
		a[0]=1;
		for(int i=1;i<=p;i++)	a[i]=(a[i-1]*i)%p;
		printf("%d\n",lucas(n+m,n));
	
	return 0;
 

　　我肯定还会忘的。。。