题解 [AT2134] Zigzag MST

Posted 2022-04-13 zsq259

题面

解析

我们先考虑一下加一条边(x,y,z)会成什么亚子:

(还有很多边不画了...)

然后我们把这个图单独拿出来:

我们可以发现,对于最小生成树的贡献,

它是等价于下面这张图的(因为连通性一样):

而同理,最前面的图也可以变成:

所以,我们只需要连三条边\\((x,y,z),(x,x+1,z+1),(y,y+1,z+2)\\),

最后再用\\(x,y\\)去更新\\(x+1,y+1,x+2,y+2...\\)就行了.

code:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define fre(x) freopen(x".in","r",stdin),freopen(x".out","w",stdout)
using namespace std;

inline int read()
    int sum=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch>'9' || ch<'0')if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();
    while(ch>='0' && ch<='9')sum=sum*10+ch-'0';ch=getchar();
    return f*sum;


const int N=200001;
struct edgeint x,y;ll w;a[N<<1];
int n,m,tot,fa[N];ll f[N],ans;

inline void add(int x,int y,ll z)
    a[++tot]=(edge)x,y,z;


inline int find(int x)return x==fa[x]? x:fa[x]=find(fa[x]);

inline bool cmp(edge a,edge b)return a.w<b.w;

int main()
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    while(m--)
        int x=read()+1,y=read()+1;ll z=read();
        add(x,y,z);f[x]=min(f[x],z+1);f[y]=min(f[y],z+2);
    
    for(int i=1;i<=(n<<1);i++) f[i%n+1]=min(f[i%n+1],f[(i-1)%n+1]+2);
    for(int i=1;i<=n;i++) add(i,i%n+1,f[i]);
    sort(a+1,a+tot+1,cmp);
    for(int i=1;i<=tot;i++)
        int aa=find(a[i].x),b=find(a[i].y);
        if(aa!=b) ans+=a[i].w,fa[aa]=b;
    
    printf("%lld\\n",ans);
    return 0;