关于雅可比行列式与积分换元

Posted 2022-04-12 wdfrog

A

考虑线性方程组

u=ax+by

v=cx+dy

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如果在xy平面上取 (0,0),(1,0),(0,1),(1,1)4个点构成一个变长为1的正方形，那么经过

[a   b

c    d] 做变换后会是一个平行四边形。在uv平面上是 <a,b>,<c,d> 两个向量

向量的面积  | <a,b>  x  <c,d> |  = ad-cd  这就表示变换后的面积比原面积是ad-cb/1

 

等于方程组的对应得行列式

 B

x=g(u,v) y=h(u,v) ,  x,y 与 u v不是线性的

但是做全微分后，   dx= Gu du + Gv dv ,  dy=Hu du  +Hv dv

可见微元 dxdy 与 dudv 在指定点（u0,v0)  是成线性关系的。 dxdy 、dudv 面积之比

| Gu   Gv

  Hu    Hv|  即雅可比行列式（行列式不能使0）  即 dxdy/dudv=J   所以做积分变换时 dxdy=  J * dudv