曼哈顿距离与切比雪夫距离的亲密♂关系。

Posted 2022-04-12 wo-shi-zhen-de-cai

先来看一下曼哈顿距离和切比雪夫距离的定义。（以下我可能用\(D_m,D_q\)来表示两者）

曼哈顿距离：\(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|\)

切比雪夫距离：\(max(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|)\)

至于为什么说他俩关系♂，就是因为他们可以相互转化！

转换关系如下：当坐标为\((x,y)\)时

\(D_m=\)坐标为\((x+y,x-y)\)时的\(D_q\)

\(D_q=\)坐标为\((\dfracx+y2,\dfracx-y2)\)时的\(D_q\)

经过向\(Itst\)神仙询问，将其区分开来：

\(D_m\)常用于求和，而\(D_q\)常用于\(max,min\)

而其中的绝对值，可以用排序去掉。

\(LuoguP2906Cow Neighborhoods\)

做法：现将曼哈顿距离转化为切比雪夫，排序，枚举每个点，删掉\(x\)的差已经大于\(C\)的点。

再用\(set\)维护新\(y_i\)（及点的编号），找到第一个满足条件的点后就加群，在判断前一个是否满足，加群。

群的关系用并查集维护就好了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int read()

    int f=1,w=0;char x=0;
    while(x<'0'||x>'9') if(x=='-') f=-1; x=getchar();
    while(x!=EOF&&x>='0'&&x<='9') w=(w<<3)+(w<<1)+(x^48);x=getchar();
    return w*f;

const int N=100010;
int n,fa[N],C,l=1,cnt[N],ansx,ans;
pair<int,int> p[N];
set<pair<int,int> > s;
inline int Find(int x) return fa[x]==x?x:fa[x]=Find(fa[x]);
main()
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("A.in","r",stdin);
#endif
    n=read(); C=read();
    for(int i=1,x,y;i<=n;i++)
        x=read(),y=read(),p[i]=make_pair(x+y,x-y),fa[i]=i;
    sort(p+1,p+n+1);s.insert(make_pair(p[1].second,1));
    s.insert(make_pair(-1LL<<60,0)),s.insert(make_pair(1LL<<60,0));
    for(int i=2;i<=n;i++)
    
        while(p[i].first-p[l].first>C) s.erase(make_pair(p[l].second,l)),l++;
        set<pair<int,int> >::iterator it=s.lower_bound(make_pair(p[i].second,0));
        if(it->first-p[i].second<=C) fa[Find(i)]=Find(it->second);it--;
        if(p[i].second-it->first<=C) fa[Find(i)]=Find(it->second);
        s.insert(make_pair(p[i].second,i));
    
    for(int i=1;i<=n;i++) cnt[Find(i)]++;if(Find(i)==i) ans++;
    for(int i=1;i<=n;i++) ansx=max(ansx,cnt[i]);
    printf("%lld %lld",ans,ansx);

\(Luogu[TJOI2013]\)松鼠聚会

做法：将切比雪夫转曼哈顿，推公式，枚举聚会地点即可（当然还要排序

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int read()

    int f=1,w=0;char x=0;
    while(x<'0'||x>'9') if(x=='-') f=-1; x=getchar();
    while(x!=EOF&&x>='0'&&x<='9') w=(w<<3)+(w<<1)+(x^48);x=getchar();
    return w*f;

const int N=100010;
int n,x[N],y[N],ans=1LL<<62,Sx[N],Sy[N],px[N],py[N];
main()
#ifndef ONLINE_JUDGE
    //freopen("A.in","r",stdin);//Ans=20
    freopen("B.in","r",stdin);//Ans=15
#endif
    n=read();
    for(int i=1,X,Y;i<=n;i++) X=read(),Y=read(),x[i]=px[i]=X+Y,y[i]=py[i]=X-Y;
    sort(x+1,x+n+1);sort(y+1,y+n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) Sx[i]=x[i]+Sx[i-1],Sy[i]=y[i]+Sy[i-1];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    
        int sum=0,j=lower_bound(x+1,x+n+1,px[i])-x;
        sum+=j*px[i]-Sx[j]+Sx[n]-Sx[j]-(n-j)*px[i];
        j=lower_bound(y+1,y+n+1,py[i])-y;
        sum+=j*py[i]-Sy[j]+Sy[n]-Sy[j]-(n-j)*py[i];ans=min(ans,sum);
    
    printf("%lld",ans/2);