LeetCode 629. K个逆序对数组

Posted 2022-04-12 zaq19970105

题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/k-inverse-pairs-array/

题目大意

　　略。

分析

　　首先，1~n 这 n 个数所能产生的最大逆序对为 n * (n - 1) / 2 对。

　　设 dp[i][j] 表示 1~i 能产生 j 对逆序对的排列种数。

　　这里定义一下如果下标为负数，这一项为 0。

　　在考虑接下来一个事实：对于序列 1,2,3,4,5 和 2,5,7,9,10，在这个问题下，我可以说这两个序列是等价的，因为产生逆序对的本质是大小关系而不是数实际的大小。

　　现在考虑状态转移方程。

　　首先当 j > i * (i - 1) / 2 时，dp[i][j] = 0。

　　其次当 j = 0 时，dp[i][0] = 1，只有顺着排一种方法。

　　以上确定了初始状态。

　　对于其他 dp[i][j]，我们如果考虑在队头放第 k 大的数，那么这个数就贡献了 k - 1 对逆序对，剩下的 i - 1 个不同的数就可以转化为子问题，也就是 dp[i - 1][j - k]。

　　同理我们也可以在队头放其他数，分别求一下贡献，就能得到状态转移方程：$$dp[i][j] = \sum_k = max(0, j - i + 1)^j dp[i - 1][k]$$

　　仔细观察前后两项的关系可以发现：$$dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j] - dp[i - 1][max(0, j - i + 1) - 1]$$

　　不过不推这个式子也能做，搞个前缀和即可。

代码如下

 1 class Solution 
 2     int dp[2][1007], mod = 1e9 + 7, now = 0;
 3 public:
 4     int kInversePairs(int n, int k) 
 5         dp[now][0] = 1;
 6         
 7         for(int i = 1; i <= n; ++i) 
 8             now = !now;
 9             dp[now][0] = 1;
10             for(int j = 1; j <= k; ++j) 
11                 if(2 * j > i * (i - 1)) break;
12                 dp[now][j] = (dp[now][j - 1] + dp[!now][j]) % mod;
13                 if(j - i >= 0) dp[now][j] = (dp[now][j] - dp[!now][j - i] + mod) % mod;
14             
15         
16         
17         return dp[now][k];
18     
19 ;

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