Redundant Paths 分离的路径（边双连通分量）

Posted 2022-04-12 oi-zzyy

题干：
　　为了从F(1≤F≤5000)个草场中的一个走到另一个，贝茜和她的同伴们有时不得不路过一些她们讨厌的可怕的树．奶牛们已经厌倦了被迫走某一条路，所以她们想建一些新路，使每一对草场之间都会至少有两条相互分离的路径，这样她们就有多一些选择．每对草场之间已经有至少一条路径．给出所有 R ( F - 1 ≤ R ≤ 10000 )条双向路的描述，每条路连接了两个不同的草场，请计算最少的新建道路的数量, 路径由若干道路首尾相连而成．两条路径相互分离，是指两条路径没有一条重合的道路．但是，两条分离的路径上可以有一些相同的草场． 对于同一对草场之间，可能已经有两条不同的道路，你也可以在它们之间再建一条道路，作为另一条不同的道路，请输出最少的需要新建的道路数．

题解：

　　加减道路？加减边？比较简单地就可以想到边双连通分量。

　　本题要求使每一个节点都可由至少两条道路到达，那么满足条件的节点就是度数 >= 2 的节点（无向图的度）。度数为 1 的节点就是不满足题意的。

　　在两点间建边有三种情况：
　　1、两个度数 >= 2 的节点相连：没用，舍掉。

　　2、一个度数 >= 2 ，另一个 = 1 的两个节点相连：使一个节点满足题意。

　　3、两个度数 = 1 的节点相连：使两个节点满足题意。

　　十分显然，两个度数 = 1 的节点相连一定是最优的。这也表明，本题核心在于找到 度数 = 1 的节点。

100%  错解（点双连通分量）：

　　像以往的点双连通分量，先缩点，求一下度数即可。

　　但这样的 AC 代码并不符合点双连通分量的求法（在实现过程中，需要在 tarjan 中判断掉父节点；在建边中，需要判掉重边）。

　　只能说在这道题中，数据并没有考虑这种打法，虽然 AC，一定是错解。

Code：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #define $ 5111
 5 using namespace std;
 6 int m,n,k,t,dfn[$],low[$],first[$],tot1,tar,sta[$],up,circle,tr=-1;
 7 int sum,cir[$],out[$];
 8 bool judge[$],vis[$][$];
 9 struct tree    int to,next;    a[$<<5],aa[$<<5];
10 inline int min(int x,int y)    return x<y?x:y;    
11 inline void add(int x,int y)
12     a[++tot1]=(tree)    y,first[x]    ;
13     first[x]=tot1;
14     a[++tot1]=(tree)    x,first[y]    ;
15     first[y]=tot1;
16 
17 inline void tarjan(int x,int dad,int tmp=0)
18     dfn[x]=low[x]=++tar;
19     sta[++up]=x;
20     for(register int i=first[x];i;i=a[i].next)
21         int to=a[i].to;
22         if(to==dad) continue;
23         if(!dfn[to])
24             tarjan(to,x);
25             low[x]=min(low[x],low[to]);
26         
27         else low[x]=min(low[x],dfn[to]);
28     
29     if(dfn[x]==low[x])
30         ++circle;
31         do
32             tmp=sta[up--];
33             cir[tmp]=circle;
34         while(tmp!=x);
35     
36 
37 signed main()
38     scanf("%d%d",&n,&m);
39     for(register int i=1,x,y;i<=m;++i)
40         scanf("%d%d",&x,&y);
41         if(vis[x][y]==0) add(x,y),vis[x][y]=vis[y][x]=1;
42     
43     tarjan(1,0);
44     for(register int i=1;i<=n;++i)
45         for(register int j=first[i];j;j=a[j].next)
46             int to=a[j].to;
47             if(cir[i]!=cir[to]) out[cir[i]]++;
48         
49     for(register int i=1;i<=circle;++i) if(out[i]<2) sum++;
50     circle==1?puts("0"):printf("%d\n",(sum+1)/2);
51 

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100%  正解（边双连通分量）：

　　正解当然是边双连通分量。

 1 inline void tarjan(int x,int opt)
 2     dfn[x]=low[x]=++tar;
 3     for(register int i=first[x];i;i=a[i].next)
 4         int to=a[i].to;
 5         if(!dfn[to])
 6             tarjan(to,i);
 7             low[x]=min(low[x],low[to]);
 8             if(low[to]>dfn[x]) br[i]=br[i^1]=1; 
 9         
10         else if(i!=(opt^1)) low[x]=min(low[x],dfn[to]);
11     
12 
13 inline void dfs(int x)
14     in[x]=dcc;
15     for(register int i=first[x];i;i=a[i].next)
16         int to=a[i].to;
17         if(in[to]||br[i]) continue;
18         dfs(to);
19     
20 

　　同样是先缩点，求一下度数即可。

Code：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #define $ 5111
 5 using namespace std;
 6 int m,n,sum,dfn[$],low[$],first[$],tot,tar,br[$],up,circle,dcc,in[$],out[$];
 7 struct tree    int to,next;    a[$<<5],aa[$<<5];
 8 inline int min(int x,int y)    return x<y?x:y;    
 9 inline void add(int x,int y)
10     a[++tot]=(tree)    y,first[x]    ;
11     first[x]=tot;
12     a[++tot]=(tree)    x,first[y]    ;
13     first[y]=tot;
14 
15 inline void tarjan(int x,int opt)
16     dfn[x]=low[x]=++tar;
17     for(register int i=first[x];i;i=a[i].next)
18         int to=a[i].to;
19         if(!dfn[to])
20             tarjan(to,i);
21             low[x]=min(low[x],low[to]);
22             if(low[to]>dfn[x]) br[i]=br[i^1]=1; 
23         
24         else if(i!=(opt^1)) low[x]=min(low[x],dfn[to]);
25     
26 
27 inline void dfs(int x)
28     in[x]=dcc;
29     for(register int i=first[x];i;i=a[i].next)
30         int to=a[i].to;
31         if(in[to]||br[i]) continue;
32         dfs(to);
33     
34 
35 signed main()
36     scanf("%d%d",&n,&m); tot++;
37     for(register int i=1,x,y;i<=m;++i) scanf("%d%d",&x,&y),add(x,y);
38     tarjan(1,0);
39     for(register int i=1;i<=n;++i)  if(!in[i]) dcc++,dfs(i);
40     for(register int i=2,x,y;i<=tot;++i)
41         x=a[i^1].to,y=a[i].to;
42         if(in[x]!=in[y]) out[in[y]]++;
43     
44     for(register int i=1;i<=dcc;++i) if(out[i]==1) sum++;
45     dcc==1?puts("0"):printf("%d\n",(sum+1)/2);
46 

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